安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了答题时，必须使用0， 函数， 已知角的终边经过点，且，则， 已知，，则的值是， 下列说法正确的是， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.
2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得集合，利用交集的意义可求.
【详解】由题意知，，，
．
故选：B.
2. 已知函数，则（ ）
A. 1B. C. 0D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由分段函数的特点代入求解即可.
【详解】因为函数，
则.
故选：A.
3. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可.
【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，，
不等式等价于，则解集为，
故选：D.
4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质判断，，的范围，即可比较，，的大小.
【详解】由题可知，
，
，
故，
故答案为：B.
5. 函数（且）的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，进而得到大致图象．
【详解】函数（且）中由得，
则函数过定点，
设，代入可得，解得，
故幂函数，则B选项图象符合.
故选：B.
6. 已知角的终边经过点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，利用同角间的关系和正切的二倍角公式即可求解.
【详解】因为且角的终边经过点，
故角为第二象限角，
所以，，
所以.
故选：C.
7. 已知，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出，再由两角差的余弦公式求出，即可得解.
【详解】因为，，
所以，
所以，
又，所以，
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是由所给条件推导出、的值.
8. 已知函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A. 或B. 1或
C. 或1D. 或2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出函数关于对称，由函数有唯一零点，可知，即可求出.
【详解】函数，分别为定义在上的偶函数和奇函数，
则，，
所以，解得，
由为偶函数，关于对称，则关于对称，
又为偶函数，关于对称，则关于对称，
所以关于对称，
则有唯一零点一定在处取得，
故有，
化简得，解得或.
故选：A.
二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “且”是“”的充要条件
B. 弧长和面积均为的扇形的半径为2
C. “，”的否定是“，”
D. 函数的零点是
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利用充要条件的概念判断即可；对于B，利用扇形的面积公式计算可得半径，即可判断：对于C，全称量词命题的否定为存在量词命题，判断即可；对于D，根据函数的零点不是点，即可判断.
【详解】对于A，当“且”时，“”一定成立，
当“”时，“且”不一定成立，比如，
所以“且”是“”的充分不必要条件，故A错误；
对于B，因为扇形的弧长和面积均为，则扇形面积，
因为弧长，则半径，故B正确；
对于C，“，”的否定是“，”，故C正确；
对于D，函数的零点是1，不是点，故D错误.
故选：BC.
10. 已知函数（，，）的部分图象如下图所示，则（ ）
A.
B. 是的一个对称中心
C. 的单调递增区间为
D. 若实数，满足，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再逐项分析、计算判断作答.
【详解】由图形可知，解得，；
因为，所以，所以；
由五点作图法可知，，又，所以，
所以，故A错误；
当，，，
所以是的一个对称中心，故B正确；
当时， ，，故C正确；
由，
则，或者，
故，故D正确
故选：BCD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 关于直线对称
C. 的值域为
D. 在区间上恰有7个不同的实数根
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，根据周期函数的定义即可验证；对于B，根据三角函数的对称性进行验证即可；对于C，有绝对值，分段讨论，去掉绝对值，即可求出值域；对于D，结合C选项的分析，分段讨论，即可求解.
【详解】由题可知，故A错误；
，
，故B正确；
，
当时，，
当时，，
所以的值域为，故C正确，
当时，，
则，则，，，或，则，.
当时，，
解得（舍）或者，
此时在上有两个解，，综上，共有七个解.
故选:BCD.
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 写出函数取得最大值时的的取值集合：__________.
【答案】
【解析】
【分析】可得当时，取得最大值，即可求出的取值集合.
【详解】，
时，函数有最大值，
取值集合为.
故答案为：.
13. 已知，，且满足，则最小值为______________.
【答案】##
【解析】
【分析】变形给定等式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，，，得，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故答案为：
14. 已知函数，函数，若对任意的实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围.
【详解】由函数，
当时，，即，
当时，，即，所以可知的值域为，
，
由题意可知，函数在的值域应是函数值域的子集，
故当时，解得，
当时，，此时无解，
当时，，此时无解，
综上综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合且，集合，命题，命题.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）求得集合和， 求得，进而可求得；
（2）根据给定条件可知集合是集合的真子集，根据包含关系列不等式式求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，故，
又因为，
所以.
【小问2详解】
因为是的充分不必要条件，故是的真子集，
又且，
所以（等号不同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围是.
16. （1）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点.求的值；
（2）已知，都是锐角，，，求的值.
【答案】（1）3；（2）.
【解析】
【分析】（1）由三角函数定义以及诱导公式化简求值即可；
（2）由题意结合两角差的余弦公式以及平方关系、角的范围即可求解.
【详解】因为终边上一点，则，
；
（2）由，，可得，
又，，则，
，
所以.
17. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间及对称中心；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域.
【答案】（1）单调递增区间为（），对称中心为（）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质求出函数的单调递增区间及对称中心即可；
（2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即可求得函数在区间上的值域.
【小问1详解】
函数
，
∴.
令，，得，，
即函数的单调递增区间为（）.
令，，得，，
所以函数的对称中心为（）.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象；
再向下平移个单位长度得到函数的图象.
因为，所以，所以，
所以，即的值域为.
18. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数值；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）在上是递减函数，证明见解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值.
（2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证.
（3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
由是定义在上的奇函数，得，
则，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，函数在上是递减函数，
任取，且，，
由，得，则，，即，
所以是定义在上的递减函数.
【小问3详解】
由，得，
由（2）知，是上的递减函数，则，即，
依题意，对任意的恒成立，
而，则，当且仅当，即时取等号，
因此，所以实数的取值范围是.
19. 设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任意两个实数x，y，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个二元函数，记作，，其中A称为二元函数f的定义域.
（1）已知，若，，，求；
（2）设二元函数f的定义域为I，如果存在实数M满足：①，都有，②，使得.那么，我们称M是二元函数的下确界.若，且，判断函数是否存在下确界，若存在，求出此函数的下确界，若不存在，说明理由.
（3）的定义域为，若，对于，都有，则称f在D上是关于h单调递增.已知在上是关于1单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）3 （2）存在，下确界为
（3）.
【解析】
【分析】（1）由二元函数的定义求解即可；
（2）根据基本不等式,和二次函数的性质判断即可；
（3）根据二元函数在定义域上单调递增的定义，结合基本不等式求解即可；
【小问1详解】
由可得，，
由可得，，
由
又，所以；
【小问2详解】
由可得，，
由，可得，所以，
当且仅当时取等号.
，
当且仅当，即，或，时取等号.
即下确界为.
【小问3详解】
因为在上是关于1单调递增，
所以，即对于任意的，都有，
化简可得，即，
下面求函数的最小值，
设，，
，
当时，
当时，
当时，；
所以.
所以即.