安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题（原卷版）-A4

这是一份安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题（原卷版）-A4，共5页。试卷主要包含了答题时，必须使用0， 已知平面向量，，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：150分钟 满分：120分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.
2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 非零向量，满足，若，则，夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 圆台上底面半径为，下底面半径为，母线，在上底面上，在下底面上，从中点拉一条绳子，绕圆台侧面一周到点，则绳子最短距离为（ ）cm
A. 10B. 12C. 16D. 20
6. 安徽省肥西县紫蓬山风景秀丽，紫蓬山山顶有座塔.某同学为了测量塔高，他在地面处时测得塔底在东偏北的方向上，向正东方向行走50米后到达处，测得塔底在东偏北的方向上，此时测得塔顶的仰角为，则塔顶离地面的高度为（ ）
A. 米B. 50米C. 米D. 米
7. 已知直角中，，，，是的内心，是内部（不含边界）的动点，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（ ）
A. 该半正多面体的体积为
B. 该半正多面体过，，三点的截面面积为
C. 该半正多面体外接球的表面积为
D. 该半正多面体的表面积为
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，.则以下正确的有（ ）

A. B. 是等腰直角三角形
C. D. 的面积为
10. 已知平面向量，，则（ ）
A. B. 与可作为一组基底向量
C. 与夹角的余弦值为D. 在方向上的投影向量的坐标为
11. 已知，，分别是的三个内角，，的对边，其中正确的命题有（ ）
A. 已知，，，则有两解
B. 若，，，内有一点使得，，两两夹角为，则
C. 若，，，内有一点使得与夹角为，与夹角为，则
D. 已知，，设，若是钝角三角形，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，且该圆锥的体积为，则_________________.
13. 甲船在岛的正南方向处，千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自岛出发以6千米/小时的速度向北偏东的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是______小时.
14. 如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥.
（1）求棱台体积；
（2）求棱台的表面积.
16. 如图，在中，已知，M是的中点，N是上的点，且相交于点P．设.
（1）若，试用向量表示;
（2）若，求实数x的值．
17. 在中,内角所对的边分别是且.
（1）求角;
（2）若,求边上的角平分线长;
（3）求边上中线的取值范围．
18. 在中，内角所对的边分别是，，，已知.
（1）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
（2）若，且外接圆半径为2，圆心为，为圆上的一动点，试求的取值范围.
19. 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，.
（1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存平方关系；
（2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值；
（3）若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得.