四川省遂宁中学2025年下期期中考试高一、数学试题含答案

这是一份四川省遂宁中学2025年下期期中考试高一、数学试题含答案，共8页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，若不等式的解集为，则的值是，已知函数满足，且，则的最小值为，在下列四个命题中，正确的是，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案。主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内。
3．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列式子表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．若不等式的解集为，则的值是（ ）
A．B．C．10D．14
5．已知函数的定义域为，则“”是“在定义域上是增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
7．函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，都有”
B．3个元素的集合有7个非空真子集
C．已知集合，若，则m的值为
D．“”是“”的充分不必要条件
10．下列说法正确的有（ ）
A．若函数的定义域是，则函数的定义域是
B．函数的值域为
C．已知函数，则
D．若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是
11．若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．ab有最大值B．有最大值
C．有最小值4D．有最小值
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，且，则 .
13．若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为 ，
14．已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）已知函数
(1)求，的值；
(2)若，求的取值范围．
16．（本题15分）已知，
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围.
17．（本题15分）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米.
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.
18．（本题17分）已知函数，.
（1）若,用定义法证明在区间上单调递增；
（2）若在区间上单调，求m的取值范围；
（3）求在区间上的最小值；
19．（本题17分）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，的值域为，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：是函数的一个“优美区间”；
(2)求证：函数不存在“优美区间”：
(3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值.
遂宁中学2025～2026学年度上期半期考试
高一数学答案
1．A
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用
【分析】由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解.
【详解】对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意非空集合的真子集，即，正确；
对于选项B，根据集合的关系知，错误；
对于选项C，根据集合的关系知，错误；
对于选项D，根据元素与集合的关系知，错误.
故选：A.
2．C
【知识点】判断两个函数是否相等
【分析】根据相同函数的概念逐项判断即可.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，的定义域为R，的定义域为，B错误；
对于C，和的定义域和对应关系都相同，C正确；
对于D，由，解得，故的定义域为，
由，解得或，的定义域为，定义域不一致，D错误.
故选：C
3．D
【知识点】判断命题的真假、由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小
【分析】通过举反例可排除A，B，C；利用作差法可推得D正确.
【详解】对于A，因，取，则，有，故A是假命题；
对于B，当时，，故B是假命题；
对于C，取，，满足，但，故C是假命题；
对于D，由，由，所以，故D是真命题.
故选：D.
4．A
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可.
【详解】因为，是方程的两个根，所以，解得，所以.
故选：A.
5．B
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：因为函数的定义域为，若得不到在定义域上是增函数，如显然在定义域上不单调，若在定义域上是增函数，则，故“”是“在定义域上是增函数”的必要不充分条件；
故选：B
6．D
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数新定义
【分析】根据新函数的定义，代入求解即可.
【详解】．
故选：D．
7．A
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数
【分析】根据题意得到在上单调递减，分段函数在上单调递减，需每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案.
【详解】因为，，都有成立，
所以在上单调递减，
故，解得，
故实数的取值范围为.
故选：A
8．C
【知识点】求函数值、基本不等式求和的最小值
【分析】利用赋值法得出，，令可得出，进而可得出，推导出，再利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】令可得，因为，则，
令，可得，解得，
令可得，即，
令可得，所以，，
所以，，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，当时，等号成立，
所以，的最小值为.
故选：C.
9．AC
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、判断命题的必要不充分条件、特称命题的否定及其真假判断、基本不等式求和的最小值
【分析】根据命题的否定即可求解A，根据基本不等式即可求解B，根据元素与集合的关系即可求解C，根据充分必要条件的定义即可求解D.
【详解】对于A, “，使得”的否定是“，都有”,A正确，
对于B,3的元素的集合有6个非空真子集，故B错误，
对于C,若，解得，则集合，符合题意，若，此时无解，因此若，则m的值为，故C正确，
对于D, 由可得到，当时，或，故“”是“”的充分不必要条件，D错误，
故选：AC
10．BCD
【知识点】抽象函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】根据负荷函数定义域的求法求函数定义域，判断A的真假；分离常数，分析函数的单调性，求值域判断B的真假；换元法求函数解析式，再求函数值，判断C的真假；根据求的取值范围，判断D的真假.
【详解】对A：对，由；
对，由，
所以函数的定义域为，故A错误；
对B：因为为增函数，且，
，所以函数的值域为，故B正确；
对C：设，则，所以，
所以，，所以，故C正确；
对D：因为关于的不等式对任意实数都成立，所以，解得：，故D正确.
故选：BCD
11．BC
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】利用基本不等式逐项分析判断；
【详解】若，且，则有：
对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，
可得，所以ab有最大值，故A错误；
对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立，
可得，有最大值，故B正确；
对于选项C：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值4，故C正确；
对于选项D：因为，
当且仅当时，等号成立，
有最小值，故D错误；
故选：BC.
12．
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】利用换元法可求答案.
【详解】令，则，原式化为，
所以.
故答案为：
13．
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】原命题等价于命题“，”是真命题
【详解】由题意得若命题“”是假命题，
则命题“，”是真命题，
则需,故本题正确答案为．
【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．
14．
【知识点】分段函数的性质及应用、二次函数的图象分析与判断、解含有参数的一元二次不等式、解分段函数不等式
【分析】作出函数的图象，求出方程的解，由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，确定满足不等式的整数解，结合图象可得出实数的取值范围.
【详解】由，可得.
因为，作出函数的图象如下图所示：

当时，，
当时，由，
即，解得或（舍）.
若，则有，且，
若使得满足不等式恰有一个整数解，
由图可知，则该整数解为，且不是不等式的解，
则，即；
若，则，无解；
若，则有，
由图可知，则满足不等式的整数解为，
且与都不是不等式的解，且，
所以，即.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)，
(2)
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式、求分段函数值
【分析】（1）根据分段函数的函数解析式求值即可；
（2）根据实数和分类讨论，列不等式，求解即可.
【详解】（1）由题意得，因为，
所以.
（2）当时，由得，，即，解得，因此；
当时，由得，，解得，因此；
综上所述，的取值范围是.
16．【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据并集结果求集合元素个数
【分析】（1）解不等式化简，利用集合补集和并集定义计算即可；
（2）由知，利用集合间关系求的范围.
【详解】（1），
当时，，
，，
.
（2）∵，∴.
当时，，；
当时，即，即.
∴.
（2）由于，所以，也即实数的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.
17．(1)米
(2)
【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得；
（2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元，
则，
，
当且仅当，即时等号成立，
∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元；
（2）由题意可得，对任意的恒成立，
即有，即在恒成立，
又，
当且仅当即时等号成立，
，又，故.
18．已知函数，.
（1）若,用定义法证明在区间上单调递增；
（2）若在区间上单调递增，求m的取值范围；
（3）求在区间上的最小值；
【答案】（1）证明见解析（2）；（3）.
【知识点】求二次函数的值域或最值、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】（2）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得或，计算即可.
（3）分类讨论，，，分别计算即可.
【详解】（1）证明：当，. 设任意的，且，
因为，，所以. 所以时在区间上单调递增.
（2）由题可知，函数开口向上，
对称轴的方程为，若使得函数在上单调递增，
则满足，解得，
若使得函数在上单调递减，则满足，解得
即实数m的取值范围.
（3）①当即时，
函数在区间单调递增，
所以函数的最小值为；
②当，即时，
函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
所以函数的最小值为；
③当即时，
函数在区间单调递减，
所以函数的最小值为，
综上可得，函数的最小值为.
【点睛】结论点睛：二次函数在区间上的最值问题：（1）动轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴动区间；对本题属于动轴动区间问题需要讨论对称轴与所给区间位置关系.
19．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)3.
【知识点】求二次函数的值域或最值、函数新定义
【分析】（1）根据给定条件，利用优美区间的定义推理论证即可.
（2）假设函数存在“优美区间”，结合已知导出矛盾即可得证.
（3）原题条件等价于是方程的两个同号且不等的实数根，结合判别式可得的范围，结合韦达定理可用表示，进一步即可求解.
【详解】（1）函数在上单调递增，又，
因此函数在上的值域为，
所以是函数的一个“优美区间”.
（2）函数中，，则或，
则函数在上单调递增，
若是的“优美区间”，则，
即是方程的两个不等的同号实根，
方程，而方程无解，
所以函数不存在“优美区间”.
（3）函数中，，则或，
函数在上单调递增，
而是函数的“优美区间”，则，
即是方程的两个不等的同号实根，
因此是方程，即的两个不等的同号实根，
则，解得或，
，
，
当且仅当时取等号，
所以当取得最大值时.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
A
B
D
A
C
AC
BCD
题号
11









答案
BC