山西省晋中市平遥县第二中学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份山西省晋中市平遥县第二中学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题，共8页。试卷主要包含了1-8 DCAD AADA，12． 13． 14．等内容，欢迎下载使用。

平遥二中高二期中考试数学答案
一、1-8 DCAD AADA
二、9.AD 10.AC 11.ACD
三、12． 13． 14．
四、15．（1）因点 在直线 上，不妨设 ，
由题意得： ，即 ，所以 的坐标为 ，
边所在直线的方程为 ，即 ；
（2）因 ，所以点 在线段 的中垂线上，
直线 的斜率为 ，线段 的中点坐标为 ，
所以，线段 的中垂线方程为 ，即 ，
联立 ，得 ，即 的坐标为 ，
又点 ， 边所在直线的方程为 ，即 .
16．（1）连接 ，根据题意可得： ，
则 ，
故动点 Q 的轨迹 是以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆．
设其方程为 ，
可知 ， ，则 ，所以点 Q 的轨迹 的方程为 ；
（2）由题意可知： ， ，
设点 ， ，则 ， ，
因为 ，则 ，可得 ，
而点 在椭圆 C 上运动，则 ，即 ，
所以点 N 的轨迹方程为 .
17．（1）圆锥的高 平面 ， 平面 ，故 ， ．
在 中， ， ，则 ．同理， ．
由于 是边长为 4 的等边三角形，故 ．
在 中， ，故 ．
由于 ， ， ，且 平面 ，
所以 平面 ．
（2）由（1）知 ， ， ．
如图所示，以 O 为原点，
， ， 分别为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ；
由 ，易得 ．
则 ， ．
设平面 的一个法向量 ，
则 ，故可取 ．
由于 ，
设点 S 到平面 的距离为 d．
，
故点 S 到平面 的距离为 ．
18．（1）在图二中，取线段 的中点为 ，连接 和 ，
由点 为 的中点，得 且 ，
又四边形 是边长为 2 的菱形，点 为 的中点，
所以 且 ，
则 且 ，
所以四边形 为平行四边形，因此 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）在图一中，由菱形 的边长为 2， ，得 都是正三角形，
而点 为 的中点，则有 ，则 ，
设四棱锥 的高为 ，其体积为 ，解得 ，
即点 到平面 的距离为 1，而 ，因此 平面 ，直线 两两垂直，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
由 平面 ，得 为平面 的法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，而 ，解得 ，
所以平面 与平面 的夹角的大小为 .
19．（1）由题意知， ，当直线 的斜率为 时，直线 恰好过椭圆的一个顶点，
所以 ，所以 ，所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）①由题意可设 ， ， ，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，则 ， ，得 ，
记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
则 ，
要使 为定值，则 ，解得 或 (舍去)，此时 ，
故在 轴上存在异于点 的定点 ，使得直线 与直线 的斜率比值为定值．
② 由①可得 ， ， ，
则
由 ，故 ， ，
当且仅当 时等号成立，所以△ 面积的最大值为 .