山东省青岛市四区联考2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

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1--8：D B B A D C C D
二、多项选择题：本大题共 3 小题．每小题 6 分，共 18 分．
9．ACD； 10．BC； 11．ABD．
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12． ； 13． ； 14． （1） ；（2） ．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）
解：（1）若 ，则 2 分
，
所以 4 分
6 分
（2）若 ，则 8 分
所以 12 分
解得 ，
所以 的取值范围是 13 分
16．（15 分）
解：（1）设 ，
所以 ， 3 分
解得 ，
所以 6 分
（2）由（1）得 ， 8 分
则 ， 10 分
当 时， ， 11 分
当 时， ， 13 分
所以 区间 上的最大值为 ，最小值为 15 分
17．（15 分）
解：（1）函数 定义在 上的奇函数，所以 2 分
所以 ，解得 4 分
（2）由（1）知： ，函数 在区间 上单调递增 6 分
证明：设 ，且 ，
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则
9 分
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增 11 分
（3）由（2）知 在 上单调递增，故 的最大值是 12 分
所以 对任意的 恒成立 13 分
所以 ，
解得 或 ，
所以 的取值范围为 15 分
18．（17 分）
解：（1）当 时， ，高 ，
所以 3 分
（2）因为 ， ， 两点相遇于点 4 分
因为 ， 5 分
过 两点分别作 与 垂直，垂足分别为 ．
由平面几何知识可得：
， ， ， 7 分
①当 时， ．
②当 时， ．
③当 时， ．
综上， 11 分
（3）由（2）知：
当 时， 在 上单调递增， ．
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当 时， 在 上单调递增， ．
当 时， ，
在上 单调递减，所以 时， ，
综上， 的最大值为 17 分
19．（17 分）
解：（1）当 时， ，若集合 ， ，
集合 中无奇数，所以 ，在集合 中没有唯一确定的数 使得 为偶数，
所以不存在 函数 3 分 （2）证明：记 且 为奇数，则 中存在唯一确定的奇数记为 ， 又因为 ，所以其它奇数均在 内，则 ，
所以 8 分
（3）（i）设 为偶数，
①若 中只有奇数，则在集合 中有唯一确定的奇数 且 中有所有的偶数，则 中有除 之外的所
有奇数，所以集合 中的元素个数为 个 10 分
②若 中只有偶数，则在集合 中有唯一确定的偶数 且 中有所有的奇数，则 中有除 之外的所
有偶数，所以集合 中的元素个数为 个 12 分
③若 中有奇有偶，则在集合 中有恰有一个奇数 一个偶数 ，
所以集合 中的元素个数为 个 14 分 （ii）同理： 为奇数时，
①若 中只有奇数， 中的元素个数为 个
②若 中只有偶数， 中的元素个数为 个
③若 中有奇有偶， 中的元素个数为 个 17 分
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