黑龙江省哈尔滨市省实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨市省实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟 总分：150 分
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
若直线，下列直线与平行的是（）
B.
C. D.
点关于 轴的对称点为 ，则点 到直线 的距离为（）
A.B. 3C.D.
抛物线方程为 ，则此抛物线准线为（）
A
B. C. D.
画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆
是，若圆 与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
的值为（）
或
A.
B. 或C. D.
已知椭圆的左､右焦点分别为 是椭圆 上任意一点.若 ，则椭圆 的离心率为（）
A.B.C.D.
双曲线的渐近线方程为，则（）
A. 2B. C. D.
抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对 称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径 ，镜深 ．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点 的距离应为（）
A. 2B. 3C. D.
已知抛物线，圆，过圆心 作斜率为直线与抛物线和圆 交于四点，自上而下依次为 ，若，则 的值为（）
B. C. D.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
已知点和圆 ，下列说法正确的是（）
圆心 ，半径为
点在圆 外
圆 关于直线 对称
设点是圆 上任意一点，则的最小值为
已知椭圆 的左、右焦点分别为， ，P 是 C 上的任意一点，则（）
C 的离心率为B.
C. 的最大值为D. 使为直角的点 P 有 4 个
已知抛物线的焦点为 ，准线过点 ，是抛物线上的动点，则（）
当 时，的最小值为
点到直线 的距离的最小值为 2
当 时，直线 ON 的斜率的最大值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
过点 ，且在 轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有条．
已知 为坐标原点，双曲线的右焦点为 ，左顶点为 ，过作 的一条渐近线的垂线，垂足为.若 ，则 的离心率为.
已知抛物线，F 为 C 的焦点，P，Q 为其准线上的两个动点，且 ．若线段 PF， QF 分别交 C 于点 A，B，记 的面积为 的面积为 ，当 时，直线 AB 的方程为
三、解答题：本小题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
已知 ， ，平面内一动点满足，设动点 的轨迹为．
求的方程；
若斜率为的直线与交于 ，两点，且，求直线的方程．
已知椭圆过点，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率．
求椭圆 的方程；
已知 为椭圆 的两焦点，若点在椭圆 上，且，求的面积．
满足
.
已知抛物线 C：的焦点为 F，抛物线 C 上点
求抛物线 C 的方程；
设点，过 D 作直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，证明： 是角平分线.
已知双曲线的离心率为 2，左、右顶点分别为，虚轴的上、下顶点
分别为，且四边形的面积为．
求双曲线 的标准方程；
求双曲线 的渐近线方程；若为双曲线上的一个动点，求到双曲线两条渐近线距离之积；
已知直线 与 交于 两点，若，求实数的取值范围．
，、
已知椭圆左、右顶点分别为 、，是椭圆上异于 、的任一点，直线 是直线上两点， 、分别交椭圆于点 、两点．
直线 、斜率分别为 、 ，求的值；
若、 、 三点共线， ，求实数的值；
若直线 过椭圆右焦点 ，且，求 面积的最小值.
黑龙江省实验中学 2025-2026 学年度
高二学年上学期期中考试数学学科试题
考试时间：120 分钟 总分：150 分
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
若直线，下列直线与平行的是（）
B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两条直线平行时的条件即可求出.
、
，
【详解】直线，其中、
，
，
对于选项， 、、 ，此时故不正确.
， 两条直线不平行，
对于选项 ， 不正确.
对于选项 ，
，此时
，
，
、
、
，
，
、
、
，此时
， 两条直线不平行，故
， 两条直
，
，
线重合，故不正确.
对于选项 ，
，此时
，两条直线平
、
、
行，故 正确.故选： .
点关于 轴的对称点为 ，则点 到直线 的距离为（）
B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定 Q 的坐标，利用点到直线的距离公式，即可得答案.
【详解】由题意知点关于 轴的对称点为 ，则 ，
故点 到直线 的距离为，故选：C
抛物线方程为 ，则此抛物线的准线为（）
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得.
【详解】抛物线方程为 ，则，可得 ， 抛物线的准线为.
故选：D．
画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆
是，若圆 与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
的值为（）
或
A.
B. 或C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为，根据蒙日圆与圆只有一个
公共点，结合圆与圆的位置关系，得到 或 ，求得的值，即可得到答案.
【详解】由椭圆的方程，可得 且 ，且蒙日圆方程为 ，
可得蒙日圆的圆心为原点 O，半径为，
或
，
又由圆 的圆心为 ，半径为 2，因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，
可得
或
，
又因为，所以
解得 或 ．故选：B．
已知椭圆的左､右焦点分别为 是椭圆 上任意一点.若 ，则椭圆 的离心率为（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得 ，进而求离心率.
【详解】由题设 ，且 ，则 ，
所以.
故选：B
双曲线的渐近线方程为，则（）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线方程，即可求得答案.
【详解】由题意知双曲线 的实半轴长为 ，虚半轴长为 ，故其渐近线方程为 ，结合渐近线方程为，故，
故选：A
抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对 称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径 ，镜深 ．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点 的距离应为（）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的方程以及性质即可求解.
【详解】以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则，设 平面截该镜面所得的抛物线方程为，代入，得，
则小灯泡应置于焦点处，故其距离镜面顶点 的距离应为.
故选：D
已知抛物线，圆，过圆心 作斜率为 的直线 与抛物线和圆 交于四点，自上而下依次为 ，若，则 的值为（）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，可得圆心 C 为抛物线的焦点，求出弦 AB 长，设出直线 AB 方程并与抛物线方程联立，结合韦达定理求解作答.
【详解】如图，圆的圆心为 ，半径， 且 为抛物线的焦点，抛物线的准线方程为 ．
设 ，则．
因为，则 ，可得．
设直线的方程为 ，显然 ，且直线与抛物线必相交，
由
得
，易知 ，
所以 ，解得．故选：A.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
已知点和圆，下列说法正确的是（）
圆心，半径为
点在圆 外
圆 关于直线 对称
设点是圆 上任意一点，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断 A 选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断 B 选项；验证圆心是否在直线上，即可判断 C 选项；由与圆的半径，求出的范围，判断 D 选项.
【详解】圆心 ，半径为 ，A 选项错误；
∵ ，∴点在圆 外，B 选项正确；
∵圆心 在直线 上，∴圆 关于直线 对称，C 选项正确；
∵ ，圆半径 ，∴，D 选项正确.故选：BCD.
已知椭圆 的左、右焦点分别为， ，P 是 C 上的任意一点，则（）
C 的离心率为B.
C. 的最大值为D. 使为直角的点 P 有 4 个
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程求出 ，由离心率定义判断 A，由椭圆定义判断 B，由椭圆的几何性质判断 C，根据以线段 为直径的圆与椭圆交点个数判断 D.
【详解】由原方程可得椭圆标准方程为，
，，故 A 错误；
由椭圆定义可知，故 B 正确；
由椭圆的性质知，故 C 正确；
易知以线段 为直径的圆（因为 ）与 C 有 4 个交点，故满足为直角的点有 4 个，故 D
正确.
故选：BCD
已知抛物线的焦点为 ，准线过点 ，是抛物线上的动点，则（）
当 时，的最小值为
点到直线 的距离的最小值为 2
当 时，直线 ON 的斜率的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对选项 A，可根据抛物线的定义计算出 的值判断其正确，对 BCD 选项，可根据抛物线的方程设抛物线上任意一点的坐标为，将几何问题转化为代数问题进行计算求解.
【详解】根据抛物线的定义，的准线为，
由题意准线过 ，可求出 ，抛物线的方程为，选项 A 正确；对于选项 B，C，D，可设抛物线上的点的动点为，
时，
；
对于 B 选项，当
当 时，
当且仅当 时，等号成立.选项 B 正确；
对于 C 选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：
到直线 的距离，
当
时，
.选项 C 错误；
对于 D 选项，可根据向量共线作出示意图：
时，
，
根据定义求出抛物线的焦点 ，由 得，当 时，；
当
当且仅当时，等号成立.选项 D 正确.故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
过点 ，且在 轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有条．
【答案】3
【解析】
或
或
【分析】先设直线为
，计算得出满足截距绝对值相等直线方程即可判断.
【详解】因为在 轴、 轴上的截距的绝对值相等的直线，
或
，
故设直线为或
若直线过点，则 ，得直线为 ；
若直线过点，则，得直线为 ；
若直线过点，则，得直线为 ；所以满足条件的直线有 3 条；
故答案为：3.
已知 为坐标原点，双曲线的右焦点为 ，左顶点为 ，过作 的一条渐近线的垂线，垂足为.若 ，则 的离心率为.
【答案】2
【解析】
【分析】应用点到直线的距离得 ，结合 的关系得 ，在 中应用余弦定理得
，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求离心率.
【详解】
由题意， ，双曲线的渐近线为 ，如上图，
设点在上，则，故，
所以，则，故，
所以，故，则椭圆离心率为.
故答案为：2
已知抛物线，F 为 C 的焦点，P，Q 为其准线上的两个动点，且．若线段 PF， QF 分别交 C 于点 A，B，记 的面积为 的面积为 ，当 时，直线 AB 的方程为
【答案】
【解析】
【分析】设直线 AB 方程及其坐标，将面积之比转化为坐标之间的关系结合韦达定理计算即可.
【详解】显然直线 不垂直于轴，设其方程为，
，
，
由 消去 x 得：
得：
，
则 ，由
即 ， 而 ， 于 是
，
直线的方程为，则点纵坐标，同理点 纵坐标，
又
，
，则
，
由 ，得，
，即
.
所以直线 AB 的方程为故答案为：
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中面积之比问题，通常利用线段之比来转化，然后设线设点将线段之比化为
坐标关系，联立直线与圆锥曲线方程结合韦达定理计算即可.
三、解答题：本小题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
已知 ， ，平面内一动点满足，设动点 的轨迹为．
求的方程；
若斜率为的直线与交于 ，两点，且，求直线的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设动点 ，根据结合两点间距离公式运算求解；
（2）设直线 ，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可.
【小问 1 详解】设动点 ，
因为，则，
整理可得，即，
所以动点的轨迹为的方程为.
【小问 2 详解】
由（1）可知：曲线是以圆心为 ，半径的圆，设直线 ，即 ，
由题意可得：圆心到直线的距离，
则，解得 或 ，
所以直线的方程为 或 .
已知椭圆过点，椭圆 以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．
求椭圆方程；
已知 为椭圆 的两焦点，若点在椭圆 上，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点在椭圆上求得 方程，结合椭圆 、 的关系求出椭圆 的方程；
（2）利用椭圆定义及余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积.
【小问 1 详解】
因为在上，则，可得 ，
所以椭圆 的方程为，故长轴长为 ，离心率为，
设椭圆 的方程为，
故中
，且，则 ，所以椭圆 的方程为.
【小问 2 详解】
由题意，在 中 ，而，
又
，
所以 ，故，
所以.
满足
.
已知抛物线 C：的焦点为 F，抛物线 C 上点
求抛物线 C 的方程；
设点 ，过 D 作直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，证明： 是 的角平分线.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得；
（2）根据题意，直线 斜率不为 0，设其方程为： ，和抛物线方程联立，根据韦达定理可得 ，即直线 与直线 的倾斜角互补，得证.
【小问 1 详解】
由，可得 ，
所以抛物线 C 的方程为.
【小问 2 详解】
由
得
根据题意，直线 斜率不为 0，设其方程为： ，， ，
或
，
，由 ，可得：
由韦达定理得：，.
则
，即直线 与直线 的倾斜角互补，
所以 是 的角平分线.
已知双曲线 的离心率为 2，左、右顶点分别为，虚轴的上、下顶点分别为，且四边形的面积为．
求双曲线 的标准方程；
求双曲线 的渐近线方程；若为双曲线上的一个动点，求到双曲线两条渐近线距离之积；
已知直线 与 交于 两点，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）渐近线方程为，距离之积为
（3）
【解析】
【分析】（1）计算菱形的面积，再结合离心率可求；
（2）设 ，根据点到直线的距离公式以及化简；
（ 3） 设线段 中点， 联立方程组利用韦达定理得出 ， 再根据 得出
，再结合 可求.
【小问 1 详解】
由双曲线的几何性质可知，四边形是菱形，且，则四边形的面积为，
又离心率为，可得，故双曲线 的标准方程为；
【小问 2 详解】
渐近线方程为，
设到两条渐近线的距离分别为 ，
则
，则
，
因
，则
，所以到双曲线两条渐近线距离之积为；
【小问 3 详解】
设，线段 中点 ，,
联立，消去整理可得，
则
且
，
且
①，
即
因 ，则，
，得
，
因
，则
，
则
且
且
因
，
，得
或
因
，得
，
综上，实数的取值范围是.
，、
已知椭圆左、右顶点分别为 、，是椭圆上异于 、的任一点，直线 是直线上两点， 、分别交椭圆于点 、两点．
直线 、的斜率分别为 、 ，求的值；
若、 、 三点共线， ，求实数的值；
若直线 过椭圆右焦点 ，且，求 面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由椭圆的方程可得 ，的坐标，设的坐标，代入椭圆的方程，可得的横纵坐标的关系，进而求出 的值；
由题意设 的坐标，可得的坐标，求出直线的方程，令 ，可得的纵坐标，即求出的坐标，同理可得 的坐标，再由 ，可得 ，代入可得的值；
设直线 的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得 的纵坐标之差的绝对值，设直线的方程，令 ，可得的坐标，同理可得 的坐标，求出的代数式，代入三角形 的面积公式，可得三角形的面积的最小值．
【小问 1 详解】
由椭圆方程可得， ，
设，则，
可得；
【小问 2 详解】
因为、 、 三点共线，设 ，则 ，
所以直线的方程为，
令 ，可得，即 ，
同理可得 ，
又因为 ，
，即
，
所以
即
，
解得 ；
【小问 3 详解】
由题意可得直线 的斜率不为 0，
设直线 的方程为 ，设 ， ，联立，整理可得 ，显然 ，且，，
，
直线的方程 ，令 ，
可得，同理可得，
所以
，
所以，当且仅当 时取等号，所以 面积的最小值为 18．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
设直线方程，设交点坐标为、 ；
联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或）的一元二次方程，必要时计算 ；
列出韦达定理；
将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
代入韦达定理求解.