2026届广东省深圳龙华区七校联考数学九年级第一学期期末教学质量检测试题含解析

这是一份2026届广东省深圳龙华区七校联考数学九年级第一学期期末教学质量检测试题含解析，共19页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知，则的值是（ ）
A．B．2C．D．
2．若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为
A．5B．C．D．
3．下列是世界各国银行的图标，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝1﹣x2D．y＝
5．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产并进行治污改造，其月利润(万元)与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为万元
B．污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
D．9月份该厂利润达到万元
6．如图，的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则的面积为（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高米，底面半径米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留）． （ ）
A．B．C．D．
8．如图，舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（ ）
A．1.1米B．1.5米C．1.9米D．2.3米
9．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1
10．如图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标是.以点为位似中心，在轴的下方作的位似，图形，使得的边长是的边长的2倍.设点的横坐标是-3，则点的横坐标是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．二次函数（a，b，c为常数且a≠0）中的与的部分对应值如下表：
现给出如下四个结论：①；② 当时，的值随值的增大而减小；③是方程的一个根；④当时，，其中正确结论的序号为：____．
12．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是_____．
13．已知y是x的二次函数， y与x的部分对应值如下表：
该二次函数图象向左平移______个单位，图象经过原点．
14．在△ABC中，∠B＝45°，csA＝，则∠C的度数是_____．
15．方程的解是__________．
16．在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共个，每个球触颜色外都相同，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则可估计这个袋中红球的个数约为__________．
17．若＝，则的值为______．
18．已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长.
20．（6分）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点在线段（点不与重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（6分）为了测量山坡上的电线杆PQ的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是60°，求信号塔PQ得高度．
22．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2 = OB·OE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求证：△ABE∽△ACD．
23．（8分）如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是45°,若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留根号).
24．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．
（1）求EG：BG的值；
（2）求证：AG=OG；
（3）设AG=a，GH=b，HO=c，求a：b：c的值．
25．（10分）当时，求的值．
26．（10分）如图，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)画出位似中心O；
(2)△ABC与△A′B′C′的相似比为__________，面积比为__________.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】设x=5k（k≠0），y=2k（k≠0），代入求值即可．
【详解】解：∵
∴x=5k（k≠0），y=2k（k≠0）
∴
故选：C．
本题考查分式的性质及化简求值，根据题意，正确计算是解题关键．
2、D
【分析】由表可知，抛物线的对称轴为，顶点为，再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把代入即可求得y的值．
【详解】设二次函数的解析式为，
当或时，，由抛物线的对称性可知，，
，
把代入得，，
二次函数的解析式为，
当时，．
故选D．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线是轴对称图形，由表看出抛物线的对称轴为，顶点为，是本题的关键．
3、D
【解析】本题考查的是轴对称图形的定义．把图形沿某条直线折叠直线两旁的部分能够重合的图形叫轴对称图形．A、B、C都可以，而D不行，所以D选项正确．
4、C
【解析】根据二次函数的定义进行判断．
【详解】解：A、该函数是由反比例函数平移得到的，不是二次函数，故本选项错误；
B、由已知函数解析式得到：y＝－2x＋1，属于一次函数，故本选项错误；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、该函数不是二次函数，故本选项错误；
故选：C．
本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．
5、C
【分析】首先设反比例函数和一次函数的解析式，根据图像信息，即可得出解析式，然后即可判断正误.
【详解】设反比例函数解析式为
根据题意，图像过点（1,200），则可得出
当时，，即4月份的利润为万元，A选项正确；
设一次函数解析式为
根据题意，图像过点（4,50）和（6,110）
则有
解得
∴一次函数解析式为，其斜率为30，即污改造完成后每月利润比前一个月增加万元，B选项正确；
治污改造完成前后，1-6月份的利润分别为200万元、100万元、万元、50万元、110万元，共有3个月的利润低于万元，C选项错误；
9月份的利润为万元，D选项正确；
故答案为C.
此题主要考查一次函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.
6、D
【分析】先由点D、E分别是边AB、AC的中点，得DE∥BC，从而得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及△ABC的面积为12，​可得SADE=1．
【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴SADE：S△ABC=1：4
∵△ABC的面积为12
∴SADE=1.
故选D．
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握形似三角形的判定方法与性质定理是解答本题的关键.
7、A
【分析】根据勾股定理求得AB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S=lr，求得答案即可．
【详解】解：∵AO=8米，OB=6米，∴AB=10米，
∴圆锥的底面周长=2×π×6=12π米，
∴S扇形=lr=×12π×10=60π（米2）．
故选：A．
本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，熟知圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8、D
【分析】根据黄金分割点的比例，求出距离即可．
【详解】∵黄金分割点的比例为
（米）
∴主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为 （米）
故答案为：D．
本题考查了黄金分割点的实际应用，掌握黄金分割点的比例是解题的关键．
9、D
【解析】反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围：由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y1．故选D．
10、B
【解析】设点B′的横坐标为x，然后根据△A′B′C与△ABC的位似比为2列式计算即可求解．
【详解】设点B′的横坐标为x，
∵△ABC的边长放大到原来的2倍得到△A′B′C，点C的坐标是（-1，0），
∴x-（-1）=2[（-1）-（-1）]，
即x+1=2（-1+1），
解得x=1，
所以点B的对应点B′的横坐标是1．
故选B．
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比列出方程是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、①②③④
【分析】先利用待定系数法求得的值，＜0可判断①；对称轴为直线，利用二次函数的性质可判断②；方程即，解得，可判断③；时，；当时，，且函数有最大值，则当时，，即可判断④．
【详解】∵时，时，时，
∴，
解得：，
∴，故①正确；
∵对称轴为直线，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②正确；
方程即，
解得，
∴是方程的一个根，故③正确；
当时，，
当时，，
∵，
∴函数有最大值，
∴当时，，故④正确．
故答案为：①②③④．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
12、
【解析】解：掷一次骰子6个可能结果，而奇数有3个，
所以掷到上面为奇数的概率为：．
故答案为．
13、2
【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x轴另一个交点为（2，0），可得结论．
【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x==1．
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点为（2，0），
∴该二次函数图象向左平移2个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移1个单位，图象经过原点．
故填为2．
本题考查了二次函数图象与几何变换-平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决．
14、75°
【解析】已知在△ABC中°，csA＝，可得∠A=60°，又因∠B＝45，根据三角形的内角和定理可得∠C=75°.
15、
【分析】先通过移项将等号右边多项式移到左边，再利用提公因式法因式分解，即可得出方程的根.
【详解】解：
移项得：
提公因式得：
解得：；
故答案为：.
本题考查一元二次方程因式分解的解法.在解一元二次方程的时候，一定要先观察方程的形式，如果遇到了相同的因式，先将他们移到方程等号的一侧，看能否利用提公因式解方程，观察以及积累是快速解题的关键.
16、
【分析】根据频率的定义先求出黑球的个数，即可知红球个数.
【详解】解：黑球个数为：，红球个数：.
故答案为6
本题考查了频数和频率，频率是频数与总数之比，掌握频数频率的定义是解题的关键.
17、4
【分析】由＝可得 ，代入计算即可.
【详解】解：∵＝，
∴，
则
故答案为：4.
此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18、
【分析】根据题意首先求出，再将所求式子因式分解，最后代入求值即可．
【详解】把代入一元二次方程得，
所以.
故答案为：1．
本题考查了一元二次方程的解及因式分解求代数式的值，明确方程的解的意义即熟练因式分解是解决问题的关键．
三、解答题(共66分)
19、1+1
【解析】试题分析：本题注意考查的就是利用三角函数解直角三角形，过点C作CD⊥AB于D点，然后分别根据Rt△ADC中∠A的正弦、余弦值和Rt△CDB中∠B的正切值得出AD和BD的长度，从而得出AB的长度.
试题解析：过点C作CD⊥AB于D点，
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，
∴CD=AC=×4=1，
∴AD=，
在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=1，
∴CD=DB=1，
∴AB=AD+DB=1+1．
20、（1）；（2）时，线段有最大值．最大值是；（3）时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为．
【分析】（1）将点的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）设，则，由得出比例线段，可表示的长，利用二次函数的性质可求出线段的最大值；
（3）过点作轴交于点，由即可求解．
【详解】解：（1））∵抛物线经过，，
把两点坐标代入上式，，
解得：，
故抛物线函数关系表达式为；
（2）∵，点，
∴，
∵正方形中，，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴时，线段长有最大值，最大值为．
即时，线段有最大值．最大值是．
（3）存在．
如图，过点作轴交于点，
∵抛物线的解析式为，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
21、100米
【分析】延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，设PM的长为x米，利用锐角三角函数即可求出x，再利用锐角三角函数即可求出QM，从而求出结论．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，如图所示：
则∠PMA＝90°，
设PM的长为x米，
在RtPAM中，∠PAM＝45°，
∴AM＝PM＝x米，
∴BM＝x﹣100（米），
在RtPBM中，
∵tan∠PBM，
∴tan60°，
解得：x＝50（3），
在RtQAM中，
∵tan∠QAM，
∴QM＝AM•tan∠QAM＝50（3）×tan30°＝50（）（米），
∴PQ＝PM﹣QM＝100（米）
答：信号塔PQ的高度约为100米．
此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
22、（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）由题意，得到，然后由AD∥BC，得到，则，即可得到AF//CD，即可得到结论；
（2）先证明∠AED=∠BCD，得到∠AEB=∠ADC，然后证明得到，即可得到△ABE∽△ADC.
【详解】证明：（1）∵OD2 =OE · OB，
∴．
∵AD//BC，
∴．
∴．
∴ AF//CD．
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）∵AF//CD，
∴∠AED=∠BDC，．
∵BC=BD，
∴BE=BF，∠BDC=∠BCD
∴∠AED=∠BCD．
∵∠AEB=180°∠AED，∠ADC=180°∠BCD，
∴∠AEB=∠ADC．
∵AE·AF=AD·BF，
∴．
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF=CD．
∴．
∴△ABE∽△ADC．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，正确找到证明三角形相似的条件.
23、大树的高度为(9+3)米
【分析】根据矩形性质得出，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可．
【详解】解:如图,过点D作DG⊥BC于G,DH⊥CE于H,
则四边形DHCG为矩形.
故DG=CH,CG=DH,在中,∵∠DAH=30°,AD=6米,
∴DH=3米,AH=3米,
∴CG=3米,
设BC米,
在中，∠BAC=45°,∴AC米,
∴DG=(3+)米,BG=()米,
在中,
∵BG=DG·tan 30°,
∴(3)×,
解得:9+3,
∴BC=(9+3)米.
答:大树的高度为(9+3)米.
本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.
24、（1）1：3；（1）见解析；（3）5：3：1．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=AC，AD=BC，AD∥BC，从而可得△AEG∽△CBG，由AE=EF=FD可得BC=3AE，然后根据相似三角形的性质，即可求出EG：BG的值；
（1）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，则有AC=4AG，从而可得AO=AC=1AG，即可得到GO=AO﹣AG=AG；
（3）根据相似三角形的性质可得AG=AC，AH=AC，结合AO=AC，即可得到a=AC，b=AC，c=AC，就可得到a：b：c的值．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=AC，AD=BC，AD∥BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴．
∵AE=EF=FD，
∴BC=AD=3AE，
∴GC=3AG，GB=3EG，
∴EG：BG=1：3；
（1）∵GC=3AG（已证），
∴AC=4AG，
∴AO=AC=1AG，
∴GO=AO﹣AG=AG；
（3）∵AE=EF=FD，
∴BC=AD=3AE，AF=1AE．
∵AD∥BC，
∴△AFH∽△CBH，
∴，
∴=，即AH=AC．
∵AC=4AG，
∴a=AG=AC，
b=AH﹣AG=AC﹣AC=AC，
c=AO﹣AH=AC﹣AC=AC，
∴a：b：c=：：=5：3：1．
25、
【分析】先对分式进行化简，然后代值计算．
【详解】原式=
将代入得
故答案为：
本题考查分式的化简，注意先化简过程中，可以适当使用乘法公式，从而简化计算．
26、（1）作图见解析；（2）2∶1；4∶1.
【详解】（1）根据位似的性质，延长AA′、BB′、CC′，则它们的交点即为位似中心O；
（2）根据位似的性质得到AB：A′B′=OA：OA′=2：1，则△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质得到它们面积的比．
解：(1)如图，点O为位似中心；
(2)因为AB:A′B′=OA:OA′=12:6=2:1，
所以△ABC与△A′B′C′的相似比为2:1，面积比为4:1.
故答案为2:1； 4:1.
点睛：本题主要考查位似知识.利用位似的性质找出位似中心是解题的关键.
x
y
3
5
3
0
1
3
3
5
3
x
...
－1
0
1
2
...
y
...
0
3
4
3
...