江苏省南京江北新区七校联考2026届数学九年级第一学期期末统考模拟试题含解析

这是一份江苏省南京江北新区七校联考2026届数学九年级第一学期期末统考模拟试题含解析，共19页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，﹣3﹣，二次函数y=ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知关于x的方程x2﹣x+m＝0的一个根是3，则另一个根是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣2D．2
2．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为﹣1，则（ ）
A．a+b+c=0 B．a﹣b+c=0 C．﹣a﹣b+c=0 D．﹣a+b+c=0
3．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数解，则k的最小值为
A．B．C．D．0
4．王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（ ）
A．5%B．20%C．15%D．10%
5．如图，是的外接圆，是的直径，若的半径是，，则（ ）
A．B．C．D．
6．﹣3﹣（﹣2）的值是（ ）
A．﹣1B．1C．5D．﹣5
7．在一个不透明的袋子中，装有红球、黄球、篮球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的概率为（ ）
A． B． C． D．1
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ）
A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定
9．从一个装有3个红球、2个白球的盒子里（球除颜色外其他都相同），先摸出一个球，不再放进盒子里，然后又摸出一个球，两次摸到的都是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
10． 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为( ).
A．－1或2B．－1或1
C．1或2D．－1或2或1
11．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．，，三点在同一直线上
D．
12．从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为( )
A．B．C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．用配方法解方程时，原方程可变形为 _________ ．
14．如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C是半圆AB上一动点（不与A，B重合），CD平分∠ACB交⊙O于点D，点 I是△ABC的内心，连接BD．下列结论：
①点D的位置随着动点C位置的变化而变化；
②ID=BD；
③OI的最小值为；
④ACBC=CD．
其中正确的是 _____________ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
15．古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比是（0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此，若某位女性身高为165cm，肚脐到头顶高度为65cm，则其应穿鞋跟为_____cm的高跟鞋才能使人体近似满足黄金分割比例．（精确到1cm）
16．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为 ．
17．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．
18．写出一个二次函数关系式，使其图象开口向上_______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，是的直径，，为弧的中点，正方形绕点旋转与的两边分别交于、（点、与点、、均不重合），与分别交于、两点.
（1）求证：为等腰直角三角形；
（2）求证：；
（3）连接，试探究：在正方形绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.
20．（8分）如图，海上有A、B、C三座小岛，小岛B在岛A的正北方向，距离为121海里，小岛C分别位于岛B的南偏东53°方向，位于岛A的北偏东27°方向，求小岛B和小岛C之间的距离.（参考数据：sin27°≈，cs27°≈，tan27°≈，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
21．（8分）如图是测量河宽的示意图，与相交于点，，测得，，，求得河宽.
22．（10分）已知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象有一个交点的纵坐标是1．
（Ⅰ）当x＝4时，求反比例函数y＝的值；
（Ⅱ）当﹣1＜x＜﹣1时，求反比例函数y＝的取值范围．
23．（10分）某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示：
⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？
⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB=4，AM=1，BN=.
(1)求证:ΔADM∽ΔBMN；
(2)求∠DMN的度数.
25．（12分）在一个不透明的盒子里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们形状、大小完全相同．小明从盒子里随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的横坐标x，放回然后再随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的纵坐标y．
（1）画树状图或列表，写出点P所有可能的坐标；
（2）求出点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率．
26．已知关于的方程.
（1）求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为-1，则另一个根为 .
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】由于已知方程的二次项系数和一次项系数，所以要求方程的另一根，可利用一元二次方程的两根之和与系数的关系．
【详解】解：设a是方程x1﹣5x+k＝0的另一个根，
则a+3＝1，
即a＝﹣1．
故选：C．
此题主要考查一元二次方程的根，解题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系．
2、B
【解析】直接把x＝−1代入方程就可以确定a，b，c的关系．
【详解】∵x＝−1是方程的解，
∴把x＝−1代入方程有：a−b＋c＝1．
故选：B．
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，就可以确定a，b，c的值．
3、A
【解析】∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，
∴可以理解为y=ax2+bx和y=−k有交点，
由图可得，−k≤4，
∴k≥−4，
∴k的最小值为−4.
故选A.
4、D
【分析】设定期一年的利率是x，则存入一年后的本息和是5000（1+x）元，取3000元后余[5000（1+x）﹣3000]元，再存一年则有方程[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）＝2750，解这个方程即可求解．
【详解】设定期一年的利率是x，
根据题意得：一年时：5000（1+x），
取出3000后剩：5000（1+x）﹣3000，
同理两年后是[5000（1+x）﹣3000]（1+x），
即方程为[5000（1+x）﹣3000]•（1+x）＝2750，
解得：x1＝10%，x2＝﹣150%（不符合题意，故舍去），即年利率是10%．
故选：D．
此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和 = 本金 ×(1+ 利率 × 期数），难度一般．
5、A
【分析】连接CD，得∠ACD=90°，由圆周角定理得∠B=∠ADC，进而即可得到答案．
【详解】连接CD，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∵的半径是，
∴AD=3，
∵∠B=∠ADC，
∴，
故选A．
本题主要考查圆周角定理以及正弦三角函数的定义，掌握圆周角定理以及正弦三角函数的定义，是解题的关键．
6、A
【解析】利用有理数的减法的运算法则进行计算即可得出答案．
【详解】﹣3﹣（﹣2）
=﹣3+2
=﹣1，
故选A．
【点睛】本题主要考查了有理数的减法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
7、C
【详解】解：∵共有4个球，红球有1个，
∴摸出的球是红球的概率是：P=．
故选C．
本题考查概率公式．
8、A
【解析】试题分析：设ax2+bx+c=1（a≠1）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞1，a＞1，设方程ax2+（b﹣）x+c=1（a≠1）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．
设ax2+bx+c=1（a≠1）的两根为x1，x2， ∵由二次函数的图象可知x1+x2＞1，a＞1， ∴﹣＞1．
设方程ax2+（b﹣）x+c=1（a≠1）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+， ∵a＞1， ∴＞1，
∴a+b＞1．
考点：抛物线与x轴的交点
9、D
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，两次摸到的球的颜色都是红球的有6种情况，
∴两次摸到的球的颜色相同的概率为：．
故选：D．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10、D
【解析】当该函数是一次函数时，与x轴必有一个交点，此时a－1＝0，即a＝1.
当该函数是二次函数时，由图象与x轴只有一个交点可知Δ＝(－4)2－4(a－1)×2a＝0，解得a1＝－1，a2＝2.
综上所述，a＝1或－1或2.
故选D.
11、B
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出答案．
【详解】∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′，A，O，A′三点在同一直线上，AC∥A′C′，
无法得到CO：CA′=1：2，
故选：B．
此题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
12、C
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，
其中构成三角形的有3，5，7共1种，
∴能构成三角形的概率为：，
故选C．
点睛：此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】将常数项移到方程的右边，将二次项系数化成1，再两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【详解】∵，
方程整理得：，
配方得：，
即．
故答案为：．
本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．
14、②④
【分析】①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；
②连接IB，根据点I是△ABC的内心，得到，可以证得 ，即有，可以判断②正确；
③当OI最小时，经过圆心O，作，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，可求出，可判断③错误；
④用反证法证明即可．
【详解】解： 平分，AB是⊙O的直径，
，
，
是的直径，
是半圆的中点，即点是定点；
故①错误；
如图示，连接IB，
∵点I是△ABC的内心，
∴
又∵，
∴
即有
∴，
故②正确；
如图示，当OI最小时，经过圆心O，
过I点，作，交于点
∵点I是△ABC的内心，经过圆心O，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
设，则，，
∴，
解之得：，
即：，
故③错误；
假设，
∵点C是半圆AB上一动点，
则点C在半圆AB上对于任意位置上都满足，
如图示，
当经过圆心O时，，，
∴
与假设矛盾，故假设不成立，
∴
故④正确；
综上所述，正确的是②④，
故答案是：②④
此题考查了三角形的内心的定义和性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外接圆有关的性质，角平分线的定义等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
15、1
【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可．
【详解】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，
则 ≈0.618，
解得：x≈1，且符合题意．
故答案为1．
此题考查黄金分割的应用，解题关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
16、1．
【解析】试题分析：解方程x2-13x+40=0，（x-5）（x-8）=0，∴x1=5，x2=8，∵3+4=7＜8，∴x=5.∴周长为3+4+5=1.
故答案为1.
考点：1一元二次方程；2三角形.
17、（1，﹣2）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．
【详解】解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），
故答案为（1，﹣2）．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
18、
【分析】抛物线开口向上，则二次函数解析式的二次项系数为正数，据此写二次函数解析式即可．
【详解】∵图象开口向上，
∴二次项系数大于零，
∴可以是：（答案不唯一）.
故答案为：.
本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上；当a