2026届江西省吉安市七校联盟数学九年级第一学期期末联考模拟试题含解析

这是一份2026届江西省吉安市七校联盟数学九年级第一学期期末联考模拟试题含解析，共23页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线y=(x-3)2+4的顶点坐标是（ ）
A．(-1，2) B．(-1，-2) C．(1，-2) D．(3，4)
2．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）
4．用配方法解方程x2+4x+1=0时，方程可变形为 （ ）
A．B．C．D．
5．若一元二次方程的一个根为，则其另一根是（ ）
A．0B．1C．D．2
6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( )
A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶5
7．在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和，盒子中白色球的个数可能是（ ）
A．24个B．18个C．16个D．6个
8．如图，直线与反比例函数的图象相交于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、，连接、，则四边形的面积为( )
A．4B．8C．12D．24
9．如图，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）
A．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧CD．求证：AB=CD
B．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧BC．求证：AD=BC
C．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AD=弧BC，AD=BC
D．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AB=弧CD，AB=CD
10．若数据2，x，4，8的平均数是4，则这组数据的中位数和众数是（ ）
A．3和2 B．4和2 C．2和2 D．2和4
11．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．化为B．化为
C．化为D．化为
12．如图，若A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）．
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、填空题（每题4分，共24分）
13．定义为函数的“特征数”如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，在平面直角坐标系中，将“特征数”是的函数的图象向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到一个新函数，这个新函数的“特征数”是_______.
14．将二次函数化成的形式，则__________．
15．一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，计算出该几何体的表面积是__________．
16．如图，某园林公司承担了绿化某社区块空地的绿化任务，工人工作一段时间后，提高了工作效率.该公司完成的绿化面积(单位：与工作时间(单位：)之间的函数关系如图所示，则该公司提高工作效率前每小时完成的绿化面积是____________.
17．如图所示，写出一个能判定的条件________．
18．在中，，，，则的值是__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）在平面直角坐标系中的两个图形与，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形间的“和睦距离”，记作，若图形有公共点，则．
(1)如图（1），，，⊙的半径为2，则 ， ；
(2)如图（2），已知的一边在轴上，在上，且，，．
①是内一点，若、分别且⊙于E、F，且，判断与⊙的位置关系，并求出点的坐标；
②若以为半径，①中的为圆心的⊙，有，，直接写出的取值范围 ．
20．（8分）已知，如图1，在中，，，，若为的中点，交与点.

（1）求的长.
（2）如图2，点为射线上一动点，连接，线段绕点顺时针旋转交直线与点.
①若时，求的长：
②如图3，连接交直线与点，当为等腰三角形时，求的长.
21．（8分）在下列的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如正方形的顶点，都是格点.要求在下列问题中仅用无刻度的直尺作图.
（1）画出格点，连（或延长）交边于，使，写出点的坐标.
（2）画出格点，连（或延长）交边于，使，则满足条件的格点有 个.
22．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求点、、的坐标；
（2）若点在轴的上方，以、、为顶点的三角形与全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点与点，请你写出平移过程，并说明理由。
23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；
（3）点F在抛物线上运动，是否存在点F，使△BFC的面积为6，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，.动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，设运动的时间为秒，.
（1）直接写出关于的函数解析式及的取值范围：_______；
（2）当时，求的值；
（3）连接交于点，若双曲线经过点，问的值是否变化？若不变化，请求出的值；若变化，请说明理由.
25．（12分）如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的处，点落在点处，交线段于点.
（1）求证：；
（2）若是的中点，，，求的长.
26．某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，，，车杆与所成的，图1中、、三点共线，图2中的座板与地面保持平行.问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请写出的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：，，）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】根据抛物线解析式y=(x-3)2+4,可直接写出顶点坐标.
【详解】y=(x-3)2+4的顶点坐标是(3，4).
故选D.
此题考查了二次函数y=a(x-h)2+k的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k，顶点坐标是(h，k)，对称轴是x=k.
2、A
【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1．
故选A．
3、A
【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴=，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴=，
∴=，
解得：OA=1，∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选A．
4、C
【解析】根据配方法的定义即可得到答案.
【详解】将原式变形可得：x2＋4x＋4－3＝0,即（x＋2）2＝3，故答案选C.
本题主要考查了配方法解一元二次方程，解本题的要点在于将左边配成完全平方式，右边化为常数.
5、C
【分析】把代入方程求出的值，再解方程即可．
【详解】∵一元二次方程的一个根为
∴
解得
∴原方程为
解得
故选C
本题考查一元二次方程的解，把方程的解代入方程即可求出参数的值.
6、A
【解析】∵DE∥BC，EF∥AB，
∴，，
∴，
∴，
∴，即.
故选A.
点睛：若，则，.
7、B
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数，计算白球的个数．
【详解】解：∵摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和，
∴摸到白球的频率为1-25%-45%=30%，
故口袋中白色球的个数可能是60×30%=18个．
故选：B．
本题考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．
8、C
【分析】根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=3，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．
【详解】解：∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴S△AOC=S△ODB=|k|=3，
又∵OC=OD，AC=BD，
∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=3，
∴四边形ABCD的面积为=S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×3=1．
故选C．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．
9、D
【分析】根据命题的概念把原命题写成:“如果...求证...”的形式.
【详解】解：“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”，改写成：已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD.求证：弧AB=弧CD，AB=CD
故选：D
本题考查命题，掌握将命题改写为“如果...求证...”的形式,是解题的关键.
10、A
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数；据此先求得x的值，再将数据按从小到大排列，将中间的两个数求平均值即可得到中位数，众数是出现次数最多的数．
【详解】这组数的平均数为＝4，
解得：x＝2；
所以这组数据是：2，2，4，8；
中位数是（2＋4）÷2＝3，
2在这组数据中出现2次，4出现一次，8出现一次，
所以众数是2；
故选：A．
本题考查平均数和中位数和众数的概念．
11、C
【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案．
【详解】A、由原方程，得，
等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得；
故本选项正确；
B、由原方程，得，
等式的两边同时加上一次项系数−7的一半的平方，得，，
故本选项正确；
C、由原方程，得，
等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得（x＋4）2＝7；
故本选项错误；
D、由原方程，得3x2−4x＝2，
化二次项系数为1，得x2−x＝
等式的两边同时加上一次项系数−的一半的平方，得；
故本选项正确．
故选：C．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
12、A
【分析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F对应的位置．
【详解】解：根据题意，△ABC的三边之比为
要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边之比也应为
经计算只有甲点合适，
故选：A．
本题考查了相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】首先根据“特征数”得出函数解析式，然后利用平移规律得出新函数解析式，化为一般式即可判定其“特征数”.
【详解】由题意，得
“特征数”是的函数的解析式为，
平移后的新函数解析式为
∴这个新函数的“特征数”是
故答案为：
此题主要考查新定义下的二次函数的平移，解题关键是理解题意.
14、
【分析】利用配方法，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，顶点式：；两根式：．正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
15、
【分析】根据三视图可得出该几何体为圆锥，圆锥的表面积=底面积+侧面积（侧面积将圆锥的侧面积不成曲线地展开，是一个扇形．），用字母表示就是S=πr²+πrl（其中l=母线，是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离）．
【详解】解：由题意可知，该几何体是圆锥，其中底面半径为2，母线长为6，
∴
故答案为：．
本题考查的知识点是几何体的三视图以及圆锥的表面积公式，熟记圆锥的面积公式是解此题的关键．
16、
【分析】利用待定系数法求出提高效率后与的函数解析式，由此可得时，的值，然后即可得出答案.
【详解】由题意，可设提高效率后得与的函数解析式为
将和代入得
解得
因此，与的函数解析式为
当时，
则该公司提高工作效率前每小时完成的绿化面积
故答案为：100.
本题考查了一次函数的实际应用，依据图象，利用待定系数法求出函数解析式是解题关键.
17、（答案不唯一）
【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．
【详解】已知△ABC和△DCA中，∠ACD=∠BAC；
如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：
①∠DAC=∠B或∠ADC=∠BAC；
②AC2=DC•BC；
故答案为：AC2=DC•BC（答案不唯一）．
此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
18、
【分析】直接利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：如下图，在中，
故答案为：．
本题考查的知识点是正弦的定义，熟记定义内容是解此题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）2，；（2）①是⊙的切线，；②或．
【分析】（1）根据图形M，N间的“和睦距离”的定义结合已知条件求解即可．
（2）①连接DF，DE，作DH⊥AB于H．设OC＝x．首先证明∠CBO＝30，再证明DH＝DE即可证明是⊙的切线，再求出OE,DE的长即可求出点D的坐标．
②根据，得到不等式组解决问题即可．
【详解】（1）∵A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2，
∴d（C，⊙C）＝2，
d（O，⊙C）＝AC−2＝，
故答案为2；；
（2）①连接，作于.设．
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∵是⊙的切线，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线．
∵，
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
②∵
∴B（0，）
∴BD=
由，，得
解得或
故答案为：或．
本题属于圆综合题，考查了图形M，N间的“和睦距离”，解直角三角形的应用，切线的判定和性质，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
20、（1）；（2）①，； ②，.
【分析】（1）先利用相似三角形性质求得∽，并利用相似比即可求的长；
（2）①由题意分点在线段上，点在射线上，利用相似三角形性质进行分析求值；
②利用三角函数以及等腰三角形性质综合进行分析讨论.
【详解】解：（1）∵，，
∴∽
∴
∵，
∴
∴
（2）①（）点在线段上
∵，
∴为的中点
∵为的中点
∴
∵，
∴
∴是的中位线
∴
（）点在射线上
∵为的中点，
∴
由（1）可得∽
∴，
∴
∵，
∴
∴∽
∴
∴
综上所述：的长为，
②由上问可得，∽
∴
∵
∴
∵，
∴
∴∽
为等腰三角形，则为等腰三角形.
（）时
在延长线上，不符合题意，舍去
（）
（），
则点与点重合
综上所述：的长为，
本题考查几何图形的综合问题，熟练利用相似三角形相关性质以及结合等腰三角形和三角函数进行分析讨论.
21、（1）或或;（2）3个
【分析】（1）根据题意可得E为BC中点，找到D关于直线BC的对称点M3，再连接AM3,即可得到3个格点；
（2）根据题意，延长BC，由，得CF=3DF,故使CN3=3AD，连接AN3,即可得到格点.
【详解】（1）如图，或或
（2）如图，N的个数为3个，
故答案为：3.
此题主要考查图形与坐标，解题的关键是熟知对称性与相似三角形的应用.
22、（1），，；（2），.理由见解析.
【分析】（1）令中y=0，求出点A、B的坐标，令x=0即可求出点C的坐标；
（2）分两种全等情况求出点D的坐标，再设平移后的解析式，将点B、D的坐标代入即可求出解析式，由平移前的解析式根据顶点式的数值变化得到平移的方向与距离.
【详解】（1）令中y=0，得，
解得： ，
∴，.
当中x=0时，y=-3，
∴.
（2）当△ABD1≌△ABC时，
∵，
∴由轴对称得D1（0,3），
设平移后的函数解析式为，将点B、D1的坐标代入，得
，解得，
∴平移后的解析式为，
∵平移前的解析式为，
∴将向右平移3个单位，再向上3个单位得到；
当△ABD2≌△BAC时，即△ABD2≌△BAD1，
作D2H⊥AB，
∴AH=OB=1，D2H=OD1=3，
∴OH=OA-AH=3-1=2，
∴D2(-2，3),
设平移后的解析式为，将点B、D2的坐标代入得
，解得，
∴平移后的函数解析式为，
∵平移前的解析式为，
∴将向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到.
此题考查二次函数图象与坐标轴交点的求法，函数图象平移的规律，求图象平移规律时需先求得函数的解析式，将平移前后的解析式都化为顶点式，根据顶点式中h、k的变化确定平移的方向与距离.
23、（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）2；（3）存在，理由见解析.
【分析】（1）抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），则c=3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b=2，即可求解；
（2）函数的对称轴为：x=1，则点D（1，4），则BE=2，DE=4，即可求解；
（3）△BFC的面积=×BC×|yF|=2|yF|=6，解得：yF=±3，即可求解．
【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
则c＝3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）函数的对称轴为：x＝1，则点D（1，4），
则BE＝2，DE＝4，
BD＝＝2；
（3）存在，理由：
△BFC的面积＝×BC×|yF|＝2|yF|＝6，
解得：yF＝±3，
故：﹣x2+2x+3＝±3，
解得：x＝0或2或1，
故点F的坐标为：（0，3）或（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
24、（1）；（2），；（3）经过点的双曲线的值不变.值为.
【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，依题意求得P、Q的坐标，进而求得PE、EQ的长，再利用勾股定理即可求得答案，由时间＝距离速度可求得t的取值范围；
（2）当，即时，代入（1）求得的函数中，解方程即可求得答案；
（3）过点作于点，求得OB的长，由，可求得，继而求得OD的长，利用三角函数即可求得点D的坐标，利用反比例函数图象上点的特征即可求得值.
【详解】（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1：
∵点B、C纵坐标相同，
∴BC⊥y轴，
∴四边形OPEC为矩形，
∵运动的时间为秒，
∴，
在中，，，，
∴，
即，
点Q运动的时间最多为：(秒) ，
点P运动的时间最多为：(秒) ，
∴关于的函数解析式及的取值范围为：；
（2）当时，
整理，得，
解得：，.
（3）经过点的双曲线的值不变.
连接，交于点，过点作于点，如下图2所示.
∵，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
在中，，，
∴，，
∴点的坐标为，
∴经过点的双曲线的值为.
本题考查了二次函数的应用－动态几何问题，解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，构造正确的辅助线是解题的关键.
25、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用有两组对应角相等的两个三角形相似证明即可；
（2）先利用勾股定理求出的长，再利用（1）中相似，列比例式即可.
【详解】（1）证明：由题意可知，
∴，，
∴.
∴.
（2）∵是的中点，，
∴.
在中
由勾股定理得，
解得：.
由（1）得，
∴，即，
∴.
此题考查的是相似三角形的判定和勾股定理，掌握用两组对应角相等证两个三角形相似、及折叠问题中相等的边和勾股定理求边是解决此题的关键.
26、的长度发生了改变，减少了.
【分析】根据图形的特点构造直角三角形利用三角函数求出变化前BC与变化后的BC长度即可求解.
【详解】图1：作DF⊥BC于F点，∵
∴BF=EF=BDcs≈30×=18
∴BC=2BF+CE
图2：作DF⊥BC于F点，由图1可知∠DE’F=53°，
∴∠DE’C=180°-∠DE’F=127°
∵DE∥BC，
∴∠E’DE=∠DE’F=53°
根据题意可知DE’=DE,CE’=CE,
连接CD，∴△DCE≌△DCE’
∴∠DEC=∠DE’C=127°
∴∠ECB=360°-∠DEC-∠DE’C-∠E’DE=53°，
作EG⊥BC于G点
∴BC=BF+FG+GC= BDcs+DE+CE∠ECB30×+30+40×=
76-72=4cm，
答：的长度发生了改变，减少了.
此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的运用.