河北省张家口市宣化区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（学生版）

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这是一份河北省张家口市宣化区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（学生版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共14个小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（）
A B.
C. D.
2. 小莹在计算一组数据的方差时，列出没有化简的算式：关于这组数据，下列说法正确的是（）
①平均数是；②众数是；③中位数是；④样本容量是．
A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④
3. 按如图所示的运算程序，能使输出的值为的是（）
A ，B. ，
C. ，D. ，
4. 如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（）
A. B.
C. D.
5. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（）
A. B.
C. D.
6. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（）
A. B. C. 2D.
7. 对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（）
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无实数根
8. 如图，一块面积为三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（）
A. B.
C. D.
9. 阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：
现已知在中，，，，则等于（）
A B. C. D.
10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
11. 如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程的一个正根是（）

A. 线段的长B. 线段的长
C. 线段的长D. 线段的长
12. 如图，将菱形纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在射线上的点E处，折痕交于点P．若，，则（）
A. B.
C. D.
13. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（）
A. B. C. D.
14. 如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（）

A. B.
C. D.
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）
15. 已知，则的值是______________.
16. 某校举办了演讲比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分，85分，70分，若依次按照的比例确定成绩，则该选手的成绩是__________分．
17. 已知是一元二次方程的两个根，则______．
18. 如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为________m．
三、解答题：（本大题共6个小题，共46分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
20. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中的________，________，________；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校八年级有800名，九年级有900名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
21. 如图，BO 是△ABC 角平分线，延长 BO 至 D 使得 BC＝CD．
（1）求证：△AOB∽△COD．
（2）若 AB＝2，BC＝4，OA＝1，求 OC 长．
22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
23. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，．
（1）填空：，；
（2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，）
24. 综合与探究
【问题情境】
如图1，正方形外有一动点是等腰直角三角形，，连接，请探究的位置关系．
【问题解决】
（1）请直接写出的位置关系：__________；
（2）将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，如图2，其中，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
年级
平均数
众数
中位数
方差
八年级
88
a
90
10.3
九年级
88
94
b
9.6