2025-2026学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省常州市九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知x1，x2是方程x2-3x+1=0的两个实数根，则x1x2的值为（ ）
A. -1B. 1C. -3D. 3
2.用配方法解方程x2+4x=-1时，配方结果正确的是（ ）
A. （x+2）2=3B. （x+2）2=5C. （x-2）2=3D. （x-2）2=5
3.如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（ ）
A. 150°
B. 145°
C. 140°
D. 135°
4.古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭.有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多4尺，比门高多2尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过.若设竹竿的长为x尺，则可列方程为（ ）
A. （x+2）2+（x-4）2=x2B. （x-2）2+（x-4）2=x2
C. （x-2）2+（x+4）2=x2D. （x+2）2+（x+4）2=x2
5.如图，BC是⊙O的切线，点B是切点，延长CO交⊙O于点A，连接AB，OD=2，∠C=30°，则AB的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.已知关于x的一元二次方程（k-2）x2+3x+k2-4=0的常数项为0，则k的值为（ ）
A. -2B. 2C. 2或-2D. 4或-2
7.在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AG=5，DE=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 2π-2
B. 2π-4
C. π-2
D. π-4
8.如图点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，∠BOC=160°，则∠BIC的度数为（ ）
A. 110°
B. 125°
C. 130°
D. 140°
二、填空题：本题共9小题，每小题2分，共18分。
9.若关于x的一元二次方程x2+4x+k-2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 .
10.如图，A、B是⊙O上的两点，如果∠AOB=100°，那么当∠CAB= °时，AC与⊙O相切.
11.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在同一半圆上，∠CBD=27°，则∠A的度数为 .
12.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦.若∠DCB=45°，AD=1，则AB= .
13.类比解一元二次方程的配方法，求多项式x2+6x+15的最小值为 .
14.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，圆心到水面AB的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为 米.
15.如图，△ABC中，∠B=90°，∠BAC=30°，BC=5cm,点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s,点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s,连接EF，E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，当△AEF的面积为12cm2时，点E运动时间为 秒.
16.若a,b是一元二次方程x2+2x-2022=0的两个实数根，则a2+4a+2b的值是______．
17.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=4，∠A=120°，点P沿着折线B-C-D-B运动，若点P在运动的过程中，△PAB的外心恰好在平行四边形ABCD的边上，符合条件的点P有 个.
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题16分)
（1）2x2+x=0；
（2）x2-4x-5=0；
（3）x2+4x=4；
（4）2x2+5x+3=0.
19.(本小题6分)
某图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入.一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元，求该图书馆这两个月投入图书购置经费的平均增长率.
20.(本小题6分)
如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，∠CBD=∠CAB.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，若∠CAB=30°，AB=4，求扇形OBD的面积.
21.(本小题6分)
如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度.
22.(本小题6分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F.过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G.
（1）求证：FD=FG；
（2）若AB=12，FG=10，求⊙O的半径.
23.(本小题6分)
已知x1，x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围.
（2）若k＜5，且k,x1，x2都是整数，求k的值.
24.(本小题8分)
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求作⊙O，使它经过边AB的中点，且与边AC、AB相切；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若⊙M过点B，且与AB、AC两条边所在直线相切，当AC=6，BC=8时，⊙M的半径长为______.
25.(本小题10分)
有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”.
（1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是______.（填所有正确的序号）
①菱形是“对分四边形”
②“对分四边形”至少有两组邻边相等
③“对分四边形”的对角线互相平分
（2）如图1，PA为⊙O的切线，A为切点.在⊙O上是否存在点B、C，使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？
请根据小明的作法补全图形，并证明四边形PACB是“对分四边形”.
（3）如图2，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，点C是⊙O上的动点，若存在四边形ABCD是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是⊙O的切线，直接写出AC的长度.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】k＜6
10.【答案】50
11.【答案】117°
12.【答案】
13.【答案】6
14.【答案】1
15.【答案】4或6
16.【答案】2018
17.【答案】4
18.【答案】x1=0，x2=-；
x1=5，x2=-1；
，x2=-2-2；
x1=-，x2=-1
19.【答案】该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为20%．
20.【答案】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠CBD=∠CAB，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠CAB=90°，
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线．
扇形OBD的面积为
21.【答案】m．
22.【答案】（1）证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF，
∴AB∥GF，
∴∠BAC=∠G=45°，
∴∠FDG=90°-45°=45°，即△DFG是等腰直角三角形，
∴FD=FG；
（2）解：∵DF⊥AB，
∴，
∵∠BAC=45°，
∴∠ADE=90°-45°=45°，即△ADE是等腰直角三角形，
∴EA=ED=6．
由（1）得FD=FG=10，
∴EF=DF-DE=10-6=4，
如图所示，连接OA，设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA，
∴在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2，
∴（x+4）2=62+x2，
解得，，
∴，
∴⊙O的半径为．
23.【答案】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴Δ=（-2k）2-4×1×（k2-k+1）=4k2-4k2+4k-4=4k-4＞0，
解得k＞1．
（2）∵1＜k＜5，
∴整数k的值为2，3，4，
当k=2时，方程为x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
当k=3或4时，此时方程解不为整数．
综上所述，k的值为2．
24.【答案】答案见解答过程 5或20
25.【答案】①②；
补全图形如1即为所求；

证明：连接OA，OB，AC，BC，
在△POA和△POB中，
，
∴△POA≌△POB（SSS），
∴∠APC=∠BPC，
在△PAC和△PBC中，
，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴∠ACP=∠BCP，
∴四边形APBC是“对分四边形”；
AC的长度为或或8 小明的作法：
①以P为圆心，PA长为半径作弧，与⊙O交于点B；
②连接PO并延长，交⊙O于点C；
③点B、C即为所求.