2022-2023学年福建省长泰第二中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

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一、单选题
1．下列函数中，既是奇函数，又在定义域上是单调递增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对每个函数的奇偶性和单调性进行判断可得.
【详解】因为不是奇函数,所以排除A;
因为和在其定义域内都不是增函数,所以排除B,C;
函数既是奇函数，又在定义域上是单调递增函数,符合.
故选D.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性,属基础题.
2．下列图形能表示函数图像的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的概念进行判断.
【详解】解：根据函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数图像至多有一个交点，
只有C正确．
故选：C．
3．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】题中阴影部分表示的集合为，再根据交集，并集个补集的运算即可得解.
【详解】解：，
阴影部分表示的集合为或．
故选：D．
4．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】设，则
解得，
∴，
又，，
∴即.
故选：B.
5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，
又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，
故选：B.
6．已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解，
【详解】由题意可知恒成立．
①当时，恒成立；
②当时，，解得．
综上：．
故选：C
7．如果函数对任意满足，且，则（ ）
A．2022B．2024C．2020D．2021
【答案】A
【分析】根据题目规律，先求出，进而求得答案.
【详解】根据题意，令，则，所以，因为2,4,6，…，2022共有个数，所以.
故选：A.
8．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出图象，不妨设，，由数形结合及二次函数图象性质可得，，即可求范围.
【详解】不妨设，，如图所示，，由 ，
故，，故.
故选：D
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b，则a2>ab
C．若a>b>0，则ab>b2D．若|a|>|b|，则a2>b2
【答案】CD
【分析】根据不等式性质分析判断.
【详解】对A：若，则，A错误；
对B：若，则，B错误；
对C：若a>b>0，根据不等式性质可得：ab>b2，C正确；
对D：若，根据不等式性质可得：a2>b2
故选：CD.
10．是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（ ）
A．的单调递增区间为
B．
C．的最大值为4
D．的解集为
【答案】ABD
【分析】A选项，画出函数图象，但两个单调递增区间不能用并集符合连接；
B选项，根据奇偶性得到，结合函数在上的单调性作出判断；
C选项，时，配方求出的最大值，结合函数奇偶性得到的最大值；
D选项，由图象求出的解集为.
【详解】因为是定义在上的偶函数，当时，，
当，，故，
画出的图象如下：
A：两个单调递增区间中间要用和或逗号分开，故A错误；
B：在上单调递减，则，故B错误；
C：当时，最大值为4，又因为是偶函数，故C正确；
D：的解集为，故D错误．
故选：ABD．
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值为6
B．若不等式的解集为或，则
C．幂函数 在上为减函数，则的值为1
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】BC
【分析】运用基本不等式和函数的性质逐项分析即可求解.
【详解】对于A，令，则 ， 是对勾函数，其极小值为 ，错误；
对于B，依题意，方程 的两个解是 或 ，并且 ，
由韦达定理： ， ， ，正确；
对于C， ，且 ，解得 ，正确；
对于D， 的定义域为 ，对于 ， ，
即 的定义域为 ；
故选：BC.
12．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是（ ）
A．若为的“完美区间”，则
B．函数存在“完美区间”
C．二次函数存在“2倍美好区间”
D．函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为
【答案】BCD
【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.
【详解】对于A，因为函数的对称轴为，故函数在上单增，
所以其值域为，又因为为的完美区间，
所以，解得或，因为，所以，A错误；
对于B，函数在和都单调递减，假设函数存在完美区间，则，即a，b互为倒数且，故函数存在完美区间，B正确；
对于C，若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为
当时，易得在区间上单调递减，
，两式相减，得，代入方程组解得，，C正确.
对于D，的定义域为，假设函数存在“完美区间”，
若，由函数在内单调递减，则，解得；
若，由函数在内单调递增，则，即在有两解a，b，得，故实数m的取值范围为，D正确.
故选：BCD.
【点睛】抓住“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间端点处a，b的取值，列出方程组.
三、填空题
13．函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】根据根式函数和分式函数的定义域求解.
【详解】由，
解得，
所以函数的定义域为
故答案为：
14．函数在区间上的值域是___________．
【答案】
【分析】先判断单调性，再根据单调性求值域.
【详解】设，
，
，
，
当时，，即
，即，函数在区间上单调递减；
当时，，即
，即，函数在区间上单调递增；
，又
故函数值域为
故答案为：
15．已知函数，且，则的值为____________．
【答案】
【分析】由奇函数的性质求解，
【详解】，令，
∵，∴为奇函数，∴，
则，得.
故答案为：
四、双空题
16．已知幂函数的图象过点，则______，的解集为______.
【答案】
【分析】设出幂函数的解析式，再由给定条件列式计算，然后借助函数性质列出不等式，求解即得.
【详解】依题意，设，则，解得，于是得，
显然是偶函数，且在上单调递增，而，
即有，解得或，
所以的解集为.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性
脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|).
五、解答题
17．已知全集，集合，集合，其中．
(1)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围；
(2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，求解即可；
（2）由“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可．
【详解】（1）因为“”是“”的充分条件，故，
则，即，解得，
则a的取值范围为；
（2）因为“”是“”是必要条件，故，
①当时，，即，符合题意；
②当时，
则，即，解得，
综上所述：a的取值范围为．
18．已知二次函数满足，．
（1）求的解析式．
（2）求在上的最大值．
【答案】（1）；（2）3．
【分析】（1）设，，代入求解，化简求解系数．
（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．
【详解】（1）设，，则
，
∴由题，恒成立
∴，，得，，，
∴.
（2）由（1）可得，
所以在单调递减，在单调递增，且，
∴.
19．已知函数.
（1）在平面直角坐标系中画出函数的图象；（不用列表，直接画出草图．
（2）根据图象，直接写出函数的单调区间；
（3）若关于的方程有四个解，求的取值范围．
【答案】（1）作图见解析 ；（2）增区间为和；减区间为和；（3） .
【分析】（1）化简函数的解析式为分段函数，结合二次函数的图象与性质，即可画出函数的图象；
（2）由（1）中的图象，直接写出函数的单调区间；
（3）把方程有四个解等价于函数与的图象有四个交点，利用函数的图象，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
所以的图象如右图所示：
（2）由（1）中的函数图象，
可得函数的单调增区间为和，单调减区间为和．
（3）由方程有四个解等价于函数与的图象有四个交点，
又由函数的最小值为，
结合图象可得，即实数的取值范围．
20．已知，
(1)求的值；
(2)用定义证明函数是上的增函数，若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】(1)根据函数表达式直接求解；(2)利用定理证明单调性，再证明奇偶性，根据奇偶性和单调性求解不等式.
【详解】（1）因为，所以.
（2），
，
因为，所以，，
所以，且，所以，
即，所以在上单调递增，
因为，，所以为奇函数,
由得，
因为函数为奇函数，
所以，
因为在上单调递增，
所以 ，解得.
21．习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
(1)当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
【答案】(1)不会，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损
(2)400吨
【分析】（1）当时，由项目获利为求解；
（2）由生活垃圾每吨的平均处理成本求解.
【详解】（1）解：当时，该项目获利为S，
则，
∴当时，，
因此，该项目不会获利，当时，S取得最大值，
所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；
（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
，
当时，，
所以当时，取得最小值240；
当时，
，
当且仅当，即时，取得最小值200，
因为，
所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
22．已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)已知a为实数，函数的最大值为，求．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）先根据函数定义域求出，求出，结合，恒大于0求出值域；
（2）设，换元后得到，分三种情况，求出最大值，得到.
【详解】（1）由，
，
∵
∴，
∴，
∵恒大于0，
∴的值域为；
（2），
令，则，即，
则．
①当时，在上单调递增，；
②当时，开口向上，对称轴为，
在上单调递增，；
③当a