重庆市2025_2026学年高二数学上学期10月检测试题含解析

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期10月检测试题含解析，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1. 已知直线 的倾斜角为 ，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将直线方程化为斜截式，根据斜率与倾斜角关系求 .
【详解】直线 可化为 ，可知直线斜率为 .
所以 ，解得 .
故选：A.
2. 两条平行直线 和 间的距离为 ，则 分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由两直线平行可推出 ，再根据平行线间距离公式可计算 .
【详解】由题意可得 ，
再由平行线的距离公式得 .
故选：B
3. 椭圆 上任意一点到两焦点的距离之和为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
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【分析】由椭圆的定义可知椭圆上任一点到两焦点的距离和等于 ，再由椭圆的方程求出 即可得结果.
【详解】由椭圆的定义可知椭圆上任一点到两焦点的距离和等于 ，
由 得 ，所以 ，
故选：B
4. 若方程 表示圆，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将方程化成 ，再利用条件，即可求解.
【详解】因为方程 可变形为 ，
由题知 ，得到 ，
故选：C.
5. 若动点 满足方程 ，则动点 P 的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点 P 轨迹方程是以 与 为焦点的椭圆方程，从
而求出轨迹方程.
【详解】由题意得： 到 与 的距离之和为 8，且 8>4，故动点 P 的轨迹方程是以
与 为焦点的椭圆方程，故 ， ，所以 ， ，所
以椭圆方程为 .
故选：A
6. 已知直线 和曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得到曲线 表示以原点为圆心， 为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可
求解.
【详解】由 ，得到 ，
所以曲线 表示以原点为圆心， 为半径的半圆，图象如图，
当直线 过点 时， ，此时 与曲线 有两个不同的交点，
当直线 与曲线 相切时，由 ，解得 或 （舍），
由图可知，实数 的取值范围是 ，
故选：C.
7. 若 P 为直线 上动点， ，B 在圆 上，则 的最小值
为（ ）
A. B. 3 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 先 求 出 点 关 于 直 线 对 称 的 点 ， 再 数 形 结 合 有
求最小值.
【详解】设点 关于直线 对称的点为 ，
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则 ，解得 ，即 ，
圆 的圆心为 ，半径为 1，
则 ，
当且仅当 P、 、B、C 四点共线，且 B 在线段 上时 取得最小值，为
故选：D
8. 椭圆 和圆 ，（c 为椭圆 半焦距），对任意的 恒有四个
交点，则椭圆的离心率 e 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的半径大于椭圆的短半轴长且小于椭圆的长半轴长得不等关系，从而得 的不等关系，再
结合 可得离心率的范围．
【详解】依题意， 对于 恒成立，则 ，
由 ，得 ， ， ， ，
由 ，得 ，整理得 ，又 ，
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所以椭圆的离心率 e 的取值范围为 .
故选：D
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知直线 l 在 x 轴上的截距为 1，且点 到 l 的距离相等，则 l 的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，确定直线 的特征，再按是否垂直于 轴分类求解.
【详解】由直线 在 x 轴上的截距为 1，得直线 过点 ，
由点 到 的距离相等，得直线 过 中点 或 ，
直线 过点 ，则 l 的方程可以为 ；
当直线 时，由直线 的斜率为 1，得 的方程为 ，即 ，
所以直线 的方程为 或 .
故选：BC
10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 P 在椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆 C 的离心率为 B. 的面积可能为 2
C. 的最大值为 4 D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆方程，求出 a，c 的值，代入离心率公式，即可判断 A 的正误；当 P 位于短轴端点时，
的面积最大，求出面积最大值，分析即可判断 B 的正误；根据椭圆定义及基本不等式，即可判断 C
的正误；设 ，可求出 ， 坐标，根据数量积公式，结合椭圆方程及 x 的范围，即可判断 D
的正误.
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【详解】选项 A：由题意 ，所以 ，
求得 ，所以离心率 ，故 A 正确；
选项 B：当 P 位于短轴端点时，不妨取上端点，则 ，
此时 的面积最大，且为 ，
所以 的面积最大为 ，不可能为 2，故 B 错误；
选项 C：由椭圆定义得 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 4，故 C 正确；
选项 D：设 ，由题意 ，
所以 ，
所以 ，
因为 P 在椭圆上，所以 ，且 ，
所以 ，
所以当 时， 的最小值为-2，故 D 正确.
故选：ACD
11. 已知点 M 在圆 上，点 P 是直线 上一点，过点 P 作圆 Q 的两条切线，
切点分别为 A、B，又设直线 l 分别交 x，y 轴于 C，D 两点，则（ ）
A. 的最小值为 B. 直线 必过定点
C. 满足 的点有一个 D. 的最小值为
【答案】ABD
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【解析】
【分析】首先得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出 ，即可判断 A，设
求出切点弦 的方程，从而求出定点坐标，即可判断 B，求出以 为直径的圆 的方程，
再判断圆 与圆 Q 的位置关系，即可判断 C，设 此时满足 ，则
从而求出最小值，即可判断 D.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
则 到直线 的距离 ，
则 ，故 A 正确；
设 ，则 的中点为 ， ，
以 为直径的圆 ，
又圆 ，两圆的方程相减得 ，即
，
由 ，解得 ，因此直线 过定点 ，故 B 正确；
对于直线 ，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
则 的中点为 ， ，
则以 为直径的圆 的方程为 ，又 ，
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则 ，所以以 为直径的圆与圆 相交，所以满足 的点有两个，故 C 错
误；
因为 ， ，设 ， ，则 ，
则 ，即
又 ， ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 在线段 与圆 的交点时取得最小值，故 D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 直线 l 与 垂直，则直线 l 的斜率 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线垂直，斜率相乘等于-1，即可求得答案.
详解】直线 ，变形可得 ，
因为直线 l 与 垂直，
所以 ，解得 .
故答案为：
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13. 若圆 与圆 仅有一条公切线，则实数 a 的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心 ，
且两圆半径分别为 ，
所以 ，
则 .
故答案为：
14. 已知 是椭圆 上的动点，且与 的四个顶点不重合， 分别是椭圆的左､右焦点，若
点 在 的平分线上，且 ，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】画出图形，根据中位线性质及椭圆定义，结合 点位置，即可求得 的取值范围．
【详解】根据题意，画出椭圆及各部分图形如下图所示：
因为 是 的平分线上一点，且 ，
所以 ， 即 为 的中点，
又因为 为 的中点，
由中位线性质可得 ，
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在椭圆方程为 ，
则 ，
所以
因为
所以
当 为短轴的顶点时，
又因为 与椭圆的四个顶点不重合
综上所述， .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线 ，直线 ，设直线 与 的交点为 P，点 Q 的坐标为 ．
（1）求经过点 Q 且与直线 平行的直线方程；
（2）求线段 的中垂线方程．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由平行关系设出直线方程，利用待定系数法求解.
（2）求出交点坐标，再求出线段 的中垂线方程.
【小问 1 详解】
设经过点 Q 且与直线 平行的直线方程为 ，而点 ，
则 ，解得 ，所以所求直线方程为 .
【小问 2 详解】
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由 ，解得 ，则点 ，线段 的中点为 ，
直线 的斜率 ，线段 的中垂线斜率 ，
所以线段 的中垂线方程为 ，即 .
16. 已知四棱锥 的底面 是边长为 的正方形， 底面 ，且 ， 是棱
的中点.以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的度数.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明出 平面 ，可得出 ，推导出 ，再结合线面垂直 判定定
理可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线 与平面 所成角的度数.
【小问 1 详解】
因为 ，四边形 是边长为 的正方形，所以 ， ，
因为 为 的中点，所以 ，
因为 底面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 、 平面 ，故 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 、 平面 ，故 平面 .
【小问 2 详解】
由题意可知， 、 、 、 ，
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由（1）可知，平面 的一个法向量为 ，
因为 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 , ,故
因此直线 与平面 所成角为 .
17. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 C 上一点， 的周长为
6，离心率 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过点 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 ，求直线 l 的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由离心率及 的周长求得 ，再根据 即可求解；
（2）分类讨论，当直线 l 为 x 轴时，与题意不符，当直线 l 不与 x 轴重合时，设
，联立方程，由韦达定理，平面向量数量积的坐标运算公式即可求解．
【小问 1 详解】
由已知可得 ，
，
，
．
【小问 2 详解】
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，当直线 l 为 x 轴时， 与题意不符，
∴可设 ，
由 ，
得 ，
，
，
又
，
，
∴直线 l 的方程为 ．
18. 若圆 的圆心在 轴的正半轴上，圆过原点，且与直线 相切.
（1）求圆 的方程；
（2）已知 ，点 是圆 上的一个动点，若点 与点 关于点 对称.
①求点 的轨迹方程；
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②若过 的直线与点 的轨迹交于 两点，试问在 轴上是否存在点 ，使 恒为定值？
若存在，求出点 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）① ；②存在， ，使得 为定值
【解析】
【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合已知条件求解可得；
（2）①利用中点坐标公式，使用相关点法可得；②设出直线方程，联立圆的方程消去 ，利用韦达定理代
入 化简可解.
【小问 1 详解】
设圆 的圆心为 ，半径为 ，因为圆过原点，所以 .
圆心 到直线 的距离为
化简得 ，因为 ，所以解得 .
所以圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
①设 ， ，由（1）得 ，
又点 是点 与点 的中点，则 ，
代入 可得 ，即 的轨迹为
②存在点 ，使得 为定值 .
当直线 斜率存在时，设其斜率为 ，则直线 的方程为 ，
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由 ，消去 ，得 ，
设 ， ， ，
则 ， ，
又 ， ，
则
要使上式恒为定值，需满足 ，解得 .
此时 ， 为定值 ；
当直线 的斜率不存在时， ， ，
由 可得 ，所以
综上所述，存在点 ，使得 为定值
19. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点为 ．
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线 交 于 M，N 两点（B 不在 上），过 N 作直线 的垂线，垂足为 Q．
①求 的最小值；
②求 的最大值．
【答案】（1） ；
（2）① ；② .
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【解析】
【分析】（1）由离心率可得 ，结合 可得椭圆方程；
（2）①设过点 的直线 方程为： ，将直线与椭圆方程联立，由韦达定理及两点间距离公
式可得 ，然后令 ，结合函数知识可得答案；②由题可得 Q 在以 为直
径的圆 T 上，过 B 作圆 T 切线，切点为 J，由几何知识可得 ，然后由两
点间距离公式结合①可得最值.
【小问 1 详解】
因 的离心率为 ，则 ，
从而 ，又右顶点为 ，则 ， ，
则椭圆方程为： ；
【小问 2 详解】
①因过点 的直线 不过点 B，则直线斜率不为 0，
设 ： .将直线与椭圆联立，则 ，消去 得： .
因 ，设 ，
则 .
则
，令 ，则 .
设 ,则 ，
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因函数 在 上单调递减，
故 ,即 ,
故得 ,即 的最小值为 ；
②由题， ，则 Q 在以 为直径的圆 T 上，B 在圆 T 外，
如图，过 B 作圆 T 切线，切点为 J，连接 JQ，JM，由弦切角定理可得 ，
又 ，则 ，从而 .
又连接 ，则 ， .
由（1） ，即 ，
则 ，
又由①得： ，
则
，因 ，则 ，此时 .
则 的最大值为 .
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