河南省郑州市第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

这是一份河南省郑州市第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷，共8页。
郑州一中 2025～2026 学年上学期期中考试
28 届 高一（数学）试题
命题人：宋润锋审题人：孙士放
说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分 150 分。
考试时间：120 分钟。
将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合 A {x | x  2k 1, k  Z}， B  {x | 1  x  4}，则 AB  （）
{1, 3}B．{1, 0,1, 2, 3}C．{1, 3, 4}D．{1,1, 3}
设命题 p : x  N, x2  7x  6 ,则 p 的否定为（）
x  N, x2  7x  6B． x  N, x2  7x  6
C． x  N, x2  7x  6D． x  N, x2  7x  6
9  x2
若函数 f (x) 
，则函数
f (x  2)
x 1
的定义域为（）
(1, 5]B．[1, 5]C． (1, 5]
已知a  b  0  c ，则下列不等式一定成立的是（ ）
D．[1, 5]
1  c  1  c ab
C． ab  c2
b  c  b
ac  a
D． ac  bc
偶函数 f (x) 在(, 0] 上单调递增，且 f (3)  0 ，则满足 f (x  2)  0 的 x 的取值范围是（ ）
(0,1)
(1, 5)B． (5, 0)
C． (5, 1)D． (5,1)
已知命题 p：“关于 x 的方程 x2  2x  a  0 有实根”.若 p 为假命题的充分不必
4
要条件为a  3m  2 ，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．[2, )
B． (, 2)
C． (2, )
D． (, 2]
已知关于 x 的不等式ax2  bx  c  0 的解集是{x |1  x  4} ，则关于 x 的不等式bx2  ax  c  0 的解集是（ ）
(4455
1, )
5
(
,1)
5
(
,1)
4
(1, )
4
若函数 f (x)  t 
9
ex  3
，f (0)  0 ，且当 x  0 时，不等式(mx  x2 )(( 3)x  t)  0
2
恒成立，则实数 m 的取值集合是（ ）
9
{ }
4
{m | m  9}
4
{m | m  2}
{2}
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的
得 0 分。
2x3
2x
下列各组函数中，是同一函数的是（ ）
f (x) 
与 g(x)  x
f (x)  x0 与 g(x)  1
x0
x2
f (x)  x 与 g(x) D． f (x)  x2  2x 与 g(t)  t 2  2t
已知a, b, c 是实数，则下列命题是真命题的是（）
a  b 是a2  b2 的既不充分也不必要条件
a  b 是a2  b2 的充分不必要条件
a  b 是ac2  bc2 的必要条件
a  b 是ac2  bc2 的充分条件
3
下列说法正确的是（ ）
若 x  2 ，则 y  3x 
1
x  2
的最小值为2 6
已知 x  2 , y  0 ，且 x  3y  1 ，则 1 3 的最小值为16
x  2y3
已知 x  0 , y  0 ，且 x  y  1，则
x2 
x  2
y2
y 1
的最小值为14
9
若 x  0, y  0, z  0 ，则
x2  y2  z2
5xy 12 yz
的最小值为 2
13
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
若幂函数 f (x)  xa
1
的图象过点(3, ) ，则实数 a 为.
9
已知关于 x 的不等式2kx2  kx  3  0,x  R 恒成立，则实数 k 的取值范围
8
为.
已知集合 A  {a1 , a2 , a3 , a4 , a5} ，集合 B {M , N}（ M  A, N  A ），其中要么
M  N 要么 N  M ，则符合条件的集合 B 有个.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
427 1 217
求值：(1) (5 )0.5  () 3  ( 27)3  ()0 ；
96432
a3 3 a
3 a2
(ab1)3

(2)
1 
(a3b3 )2
1 2a  a2 (a  1, b  0) .
已知集合 A  {y | y  x2  2}，B  {x | x2  (k 1)x  k  0, k  1} ,
(1)求集合 A；(2)当k  4 时，求 AB ；
(3)若集合 BCR A  ,求实数 k 的取值范围.
已知a  2 , b  1且ab  a  2b 16 .
求ab 的取值范围；
求a  b 的最小值，以及此时对应的 a 的值．
18.2025 年 11 月 16 日郑州将举办一场有特色的马拉松——郑州马拉松，郑州马拉松中“招募姓氏旗手、发放姓氏奖牌”的“姓氏马拉松”的口号吸引了全国各地马拉松爱好者前来参加.郑州市某文旅公司趁机准备设计和出售一款融入了“少林功夫”和“豫剧表演”等各种河南元素的姓氏奖牌产品，前期设计费和宣传费需要固定投入 100 万元.经调研发现当该套产品销售量不超过 20 万
件时,进价是每套产品 30 元，若以 50 元的单价出售，可售出 10 万件；且每
降价 1 元，销量增加 1 万件；当销售量在 20 万件以上时，则销售额Q(x)（万
元）与销量 x（万件）的关系为Q(x)  x 
当销售量为 8 万件时，利润是多少？
2025
x  20
 300 .
求利润W (x) （万元）关于销售量 x（万件）的函数解析式；
销售量是多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
已知函数 f (x) 
求 c 的值；
1
3x  c
(x  R, c  R), f (0)  1 ．
2
已知函数 f (x) 的图象关于点(a, b) 对称的充要条件是：
f (a  x)  f (a  x)  2b 对于定义域内任意 x 恒成立，其中点(a, b) 称为函数
f (x) 的图象的对称中心．试用上述事实判断函数 f (x) 
1
3x  c
的图象是否中
心对称，若是，求出其对称中心的坐标；若不是，请说明理由；
若对任意 x1 [1, t]（其中t  R, t  1），都存在 x2 [1, 29] ，使得
f (6  5tx1 )  f (x1x2 )  1 ．求实数 t 的取值范围．
郑州一中 2025～2026 学年上学期期中考试
28 届 高一（数学）参考答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
B
D
C
A
D
题号
9
10
11
答案
BD
AC
ABD
12. 2
13. 3  k  0
14.211
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。
0.5 120
15.解：（1）原式=  5 4   27  3   27 3  1  7 
 9  64 3  2

49
9
3 13 21
 (( )3 ) 3  (32 ) 3  （3 分）
43
741
（3 分）
= +  3   1
333
（2）由题知： a  1，b  0 ，
1 13
(1 a)2
(a3  a 3 ) 2ab1 2
原式21 
（3 分）
a 3a3b3 2
53  3
（2 分）
 a 3
 a 2 b
2
 (a  1)
23  3
a 3a 2 b 2
 a  1  (a  1)  2
（2 分）
16.解：（1）因为x2  0 ，所以x2  2  2 ， （1 分）即 y  x2  2  2 ，故 A  , 2 ；（2 分）
（2） k  4 时， B  x x2  5x  4  0  x 1  x  4 ，（3 分）
故 A ∪ B  , 2∪ 1, 4  , 4 ；（3 分）
（3） B ∩ CR A   ，故B  A ，（2 分）
 k  1，则B  x 1  x  k  ，（2 分）要想满足B  A ，需1  k  2 ，
综上，实数 k 的取值范围是1  k  2 .（2 分）
解：（1） ab  a  2b  16,ab 16  a  2b ，（1 分）
a  2b
又a  2b  2 2 2ab ，当且仅当a  2b 时取等号，（2 分）
2 ab
 ab 2  2
16  0 ，（1 分）
ab
解得
 4
或
 2
（舍），（2 分）
2
ab
2
故ab  32 .（1 分）
（2）方法一 a  2b 16  ab ，
即ab  a  2b  16 ，（1 分）
(a  2)(b 1)  18 ，（2 分）
(a  2)(b 1)
 (a  2)  (b 1) 
2
 3
2
，（2 分）
(a  2)  (b 1)  6 2, a  b  6 2  3 ，（2 分）
2
当且仅当a  2  3 2,b  1 3
方法二： a  2b 16  ab
时a  b 取最小值.（1 分）
b  a 16 = (a  2) 18  1 18
（2 分）
a  2
a  2
a  2
 a  b  a  1
18
a  2
 (a  2) 
18  3
(a  2)
18
(a  2)
a  2
（2 分）
又(a  2) 
18
a  2
 3  2 3
（2 分）
2
 a  b  6 3
（1 分）
2
当且仅当a  2  3 2,b  1 3时a  b 取最小值.（1 分）
解：（1）依题意，当购进产品数量为 8 万件时，
利润是50  308 100  60 万元.（2 分）
（2）当0  x  10 时，W  x   50  30 x 100  20x 100 ； （2 分）当10  x  20 时，则销售单价50  ( x 10)  60  x 元，（1 分）所以W  x   (60  x  30)x 100  x 2  30x 100 ；（2 分）
当 x  20 时，W  x   Q(x) 100  x 

20x 100, 0  x  10
2025  300  30x 100 ；（1 分）
x  20

所以W (x)  x2  30x 100,10  x  20 .（1 分）
2025
31x  200, x  20
x  20
（3）由（2）知，当0  x  10 时，W  x  20x 100 ，函数单调递增，则 x  10
时，利润最大，此时利润是 100 万元；（2 分）
当10  x  20 时，W  x   x2  30x 100   x 15 2  125 ，则 x =
15 时，利润
最大，此时利润是 125 万元；（2 分）

当 x  20 时，W x  31x  2025  200  
  20 2025  820，当 x  20 时
x  20
31 x

x  20
W  x  单调递减，当 x=20 时，W  x  为负，（3 分）
因为125  100 ，所以当购进并销售产品 15 万件时，利润最大，
最大利润为 125 万元.（1 分）
解：（1）由 f 0 
1
30  c
 1 ，可得c  1 ；（2 分）
2
假设函数 f  x  图象关于点(a, b) 对称，则
1
3a x +1
1
3a x 1
 2b 在定义域内
恒成立，（2 分）
整理得1 2b3ax  3ax  2  2b  2b 32a  0 恒成立，（2 分）
1 2b  0
a  0
所以
，解得1 ,
（2 分）


2a
2  2b  2b 3 0
b  2
所以 f  x  的图象关于中心对称，对称中心为(0, 1) ；（1 分）
2
由（2）可知当 f 6  5tx1   f x1x2   1 时，可得6  5tx1  x1 x2  0 ，则
2
x  5t  6
x1
，（2 分）
因为 x 1, t，则 x  5t  6   6,5t  6 ，（1 分）
12x5tt 
1
因为 x 1, 29，所以5t  6, 5t  6  1, 29 ，（2 分）
2


所以
5t  6  1
6



，即
t  7
5
t 
，解得 7
 t  6 ，（2 分）

5t  t
 29
5t 2  29t  6  05
即实数 t 的取值范围为 7 , 6 ．（1 分）
 5