四川省成都市郫都区2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷（学生版）

这是一份四川省成都市郫都区2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷（学生版），共7页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1. 已知向量，若与共线，则的值为（ ）
A. 5B. 4C. D.
2. 据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（ ）
A. 45B. 50C. 51D. 53
3. 在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A B. C. 0D. 1
4. 已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（ ）
A. B. C. 1D. 2
5. 某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（ ）
A. 身高在区间男生比女生多人
B. B组中男生和女生占比相同
C. 超过一半的男生身高在以上
D. 女生身高在组的人数有人
6. 已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ）
A. 0.4B. 0.58C. 0.7D. 0.72
7. 两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
8. 阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（ ）是的一个方向向量．
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分）
9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A. 的平均数等于的平均数
B. 的中位数等于的中位数
C. 的标准差不小于的标准差
D. 极差不大于的极差
10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙对立B. 甲、丙互斥
C. 甲、乙相互独立D. 乙、丙相互独立
11. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 当平面时，不可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为
D. 当时，的最小值为
第II卷（非选择题共92分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差__________.
13. 已知点，，，则点C到直线的距离为______.
14. 九宫格起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为____________.
四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.如图所示，平行六面体中，．
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求．
16. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组．
（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数；
（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小．
18. 某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．

（1）求部件正常工作的概率；
（2）为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案：
方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；
方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？
19. 在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面．

（1）求证：；
（2）如图，且，求点到平面距离；
（3）设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
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