2025-2026学年北京市东城区广渠门中学高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市东城区广渠门中学高一上学期期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1．若集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
5．计算的值为（ ）
A．1B．2C．3D．25
6．若实数，满足，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．下列四组中给出的两个函数，不是同一个函数的是（ ）
A．；，
B．；
C．，；，
D．；
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
10．设A，B是中两个子集，对于，定义：，.在这一定义下，若，，则A，B满足（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11．已知幂函数的图象过点，则 ， .
12．函数的定义域为 .
13．若函数的图象恒在函数图象的上方，则实数的取值范围是 .
14．已知，若且，都有，则实数的一个取值为 ；的最大值为 .
15．已知函数，其定义域记为集合，且.以下所有正确结论的序号是 .
①；
②是减函数：
③若，则；
④对任意，都存在使得.
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知集合.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
17．已知函数的图象过坐标原点.
(1)求的值；
(2)证明为奇函数；
(3)直接写出的值域（不需要证明）.
18．已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)若在区间上的最小值为，求实数的值.
19．学校将举办第十二届“星光杯”班级合唱比赛.高一某班为了筹集合唱节采购的费用，决定开展爱心义卖，销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据以往爱心义卖的数据分析，预计累计总净利润）（单位：百元）与销售天数（）满足
(1)为保证累计总净利润不为负，求最多销售的天数；
(2)销售多少天时，能使每天的平均净利润最大？（每天的平均净利润）
20．已知函数.
(1)求的值；
(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
(3)求关于的不等式的解集.
21．记集合的元素个数为.对于集合且，如果且，均，使得，那么就称是集合的一个“平衡数”
(1)当时，直接判断和是否为的“平衡数”；
(2)若为集合的“平衡数”，求证：；
(3)求集合的“平衡数”的最小值（用表示）.
参考答案
11． 27
12．
13．
14． 1（答案不唯一）
15．①③
16．
（1）当时，，
，
或，；
（2）若，则当时，，解得；
当时，，解得，
综上，实数的取值范围为或.
17．
（1）由题意，，解得.
（2）由（1）知，，定义域为，
而，
所以函数为奇函数.
（3）由，
因为，则，即，
所以，则，
所以函数的值域为.
18．
（1）由题意，不等式的解集为，
则2和4为方程的根，且，
所以，解得.
（2）由，则，，
则.
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，
若，即时，解得或；
若，即时，不等式为，解得；
若，即时，解得或.
综上所述，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
（3）函数的对称轴为，
当时，函数开口向下，且对称轴为，
则函数在上单调递减，
所以，不满足题意；
当时，函数开口向上，且对称轴为，
若，即时，函数在上单调递减，
则，不满足题意；
若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
解得（舍去）或.
综上所述，.
19．
（1）由题意，令，
则，即，解得，
由于，则为保证累计总净利润不为负，最多销售18天.
（2）由题意，每天的平均净利润为，
而，当且仅当，即时等号成立，
则，
所以销售6天时，能使每天的平均净利润最大.
20．
（1）因为，则.
（2）当时，，且函数在上为增函数，理由如下：
任取、且，即，
则
，
因为，则，，，，
故，即，
故函数在上单调递增.
（3）对任意的，，故函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
因为，则，所以，则，
由（2）知，函数在上为增函数，
由，可得，
所以，则有或，可得或，
可得或，
解不等式，即，解得或，
解不等式，即，解得.
综上所述，不等式的解集为.
21．
（1）当时，,，
若，取，显然，所以不是的“平衡数”，
若，则P可以为，
以上四个集合，含元素或的各两个，，
均可满足定义，所以是的“平衡数”；
（2），，
若，取，显然其中六个元素不存在两个元素之和为13，
即不是的“平衡数”，同理，更不满足定义；
事实上，中的元素满足和为13的有六组，
而当时，由抽屉原理，在上述六组数中取7个数，必有2个在同一组，其和为13，
所以若为集合的“平衡数”，则；
（3）对于集合，
能组成和为的有，共组，
根据抽屉原理，要保证任取k个元素，都至少有一对的和为，则k至少为，
假设，同上道理，取，在P中找不到两个不同的数，
使得，
所以集合的“平衡数”的最小值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
C
A
C
D
C
D
B