2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，共40分。
1.复数1−i2=( )
A. 0B. 1C. 2iD. −2i
2.已知平面向量a=x,1，b=4,x，且a与b方向相反，则x的值为( )．
A. 2B. −2C. ±2D. 0
3.sin35 ∘cs5 ∘−cs35 ∘cs95 ∘=( )
A. 12B. 1C. 32D. sin40 ∘
4.在▵ABC中，若asinB− 3sinA=0，则b=( )
A. 3B. 2 3C. 1D. 2
5.如图，在▵ABC中，AD为BC边上的中线，若E为AD的中点，则CE=( )
A. −14AB−54ACB. −14AB−34ACC. 14AB−54ACD. 14AB−34AC
6.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使aa=bb成立的充分条件是( )
A. a=−bB. a // bC. a=2bD. a // b且|a|=|b|
7.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75 ∘，30 ∘，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于( )
A. 240 3−1mB. 180 2−1mC. 120 3−1mD. 30 2−1m
8.某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线l1，l2互相平行，桥DE与河岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A，B，C处，其中入口A点(定点)在桥DE上，且A到直线l1，l2的距离分别为ℎ1，ℎ2(ℎ1,ℎ2为定值)，入口B，C分别在直线l2，l1上，公园的一边AB与直线l2所成的锐角∠ABD为α，另一边AC与AB垂直．设该休闲公园的面积为Sα，当α变化时，下列说法正确的是( )
A. 函数Sα的最大值为ℎ1ℎ2
B. 函数Sα的最小值为ℎ1ℎ22
C. 若α1，α2∈0,π2且α10，ω>0，φx1i+x2i+x3i对任意i=1,2,3都成立，判断B是否一定为A的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.A
5.D
6.C
7.C
8.D
9.C
10.B
11.−3 ；4+3i/3i+4
12. 5 ；0
13.2 33/23 3 ； 3
14.2； 32
15.②③
16.(1)由β∈(0,π)，csβ=−1213，得sinβ= 1−(−1213)2=513，tanβ=sinβcsβ=−512，
所以tan2β=2tanβ1−tan2β=2×(−512)1−(−512)2=−120119．
(2)由α∈(0,π2)，8sinα=5sin2α，得8sinα=5×2sinαcsα，
又sinα>0，解得csα=45，故sinα= 1−(45)2=35，
sin2α=2sinαcsα=2425,cs2α=cs2α−sin2α=725，
所以cs(2α−β)=cs2αcsβ+sin2αsinβ=725×(−1213)+2425×513=36325．

17.(1)以直线AB,AD分别为x,y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0),B(a,0),C(a,a),D(0,a),E(a2,0),F(a,a2)，
DE=(a2,−a),AF=(a,a2)，DE⋅AF=a2⋅a−a⋅a2=0，
所以AF⊥DE．
(2)由(1)知AC=(a,a)，xAF+yDE=(ax+a2y,a2x−ay)，
由AC=xAF+yDE，得ax+a2y=aa2x−ay=a，解得x=65,y=−25，
所以x+y=45．
(3)由(1)知AB=(a,0)，
当P在线段AD上时，设P(0,t),0≤t≤a，EP=(−a2,t)，EP⋅AB=−12a2；
当P在线段DC上时，设P(s,a),0≤s≤a，EP=(s−a2,a)，
EP⋅AB=a(s−a2)∈[−12a2,12a2]；
当在线段BC上时，设P(a,t),0≤t≤a，EP=(a2,t)，EP⋅AB=12a2；
当P在线段AB上时，设P(s,0),0≤s≤a,s≠12a，EP=(s−a2,0)，
EP⋅AB=a(s−a2)∈[−12a2,0)∪(0,12a2]，
所以EP⋅AB的取值范围是[−12a2,12a2]．

18.1)①，由fπ6=1，得Asinπω6+φ=1；
②，由π12,0是y=fx的对称中心，得Asinπω12+φ=0，
则πω12+φ=kπ，k∈Z；
③，由y=sin2x+ 3cs2x=2sin2x+π3，
因为fx=Asinωx+φ可以由函数y=2sin2x+π3平移得到，
则A=2，ω=2．
由上述可知，要使函数fx唯一确定，则必须要选③．
选①③，由上述可知，A=2，ω=2，Asinπω6+φ=1，
则2sinπ3+φ=1，即sinπ3+φ=12，
所以π3+φ=π6+2kπ或5π6+2kπ，k∈Z，
则φ=−π6+2kπ或π2+2kπ，k∈Z，
又φ