浙江省宁波六校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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考生须知：
1.本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是正确的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. -1 B. -3 或 1 C. 3 D. -3
【答案】D
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系求出 的值，验证集合元素互异性即得.
【详解】由 可得 或 .
① 当 时，解得 或 ，
若 ，则 ，与集合元素互异性矛盾，
若 ，则 ，此时 ，符合题意，故 ；
②当 时， ，由上分析可知不合题意.
故 .
故选：D.
2. 已知命题 ： ， ，则命题 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
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【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.
【详解】根据全称命题的否定得到命题 的否定为 ， .
故选：C.
3. 函数 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可.
【详解】函数 是幂函数，定义域为 R，是偶函数，排除 D；
由 ，得函数 在 上单调递增，排除 C；
且当 时，函数 的图象在 下方，排除 A，选项 B 符合要求.
故选：B
4. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解.
【详解】设 ，根据指数函数的单调性， 在 上单调递减，则 ，即
；
设 ，根据幂函数的单调性， 在 上单调递增，则 ，即 .
故 .
故选：D
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5. 已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数单调性，结合定义域讨论可得.
【详解】若 ，则当 时，函数 单调递增，
又 ， 函数 在 上单调递减，
若 ，则当 时，函数 单调递减，
只有 时，才有可能使函数 上单调递减，
，解得
综上，实数 的取值范围是
故选：A
6. 给 定 函 数 ， 用 表 示 函 数 中 的 较 大 者 ， 即
，则 的最小值为（ ）
A. 0 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求 的解析式，作函数 图象，结合图象求最值.
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【详解】令 ，即 ，解得 或 ；
令 ，即 ，解得 ；
可知： ，
又 ， ，
作出函数 的图象（图中实线部分），
由图可知： 的最小值为 .
故选：C.
7. 已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实数
的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得函数 ， 的最大值，由题意可得 ，进而可求解.
【详解】因为函数 在 上单调递增，所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ，解得 或 （舍去），
当 时， ，所以 在 上单调递减，
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当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 ，
又因为 ， ，使得 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围 .
故选：A.
8. 已知 是定义在 上的奇函数，当 且 时，都有 成立，
，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 ，其中 ，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出
，然后将所求不等式转化为 、 ，解之即可.
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
故函数 为偶函数，
当 且 时，都有 成立，
不妨设 ，则 ，
则 ，即 ，
故函数 在 上为增函数，即该函数在 上为减函数，
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因为 ，则 ，
当 时，由 得 ，即 ，解得 ；
当 时，由 得 ，即 ，解得 .
综上所述，不等式 的解集为 .
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是
B. 图象关于点 成中心对称
C. 若函数 ，则
D. 若函数 ，则对任意 ，有
【答案】ABC
【解析】
【详解】A 选项，先根据抽象函数定义域的求法可得 的定义域，再求 的定义域即可；
选项 B，分离常数可得 ，结合函数 图象的中心对称性与函数图象的平移法则，即
可得解；选项 C，采用换元法求函数的解析式即可，注意函数的定义域；选项 D，根据幂函数 图
象的凹凸性，即可作出判断．
【解答】选项 A，因为函数 的定义域为 ，
所以函数 的定义域为 ，
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所以函数 的定义域是 ，即选项 A 正确；
选项 B， ，
因为 的图象关于点 对称，而 的图象是由 的图象先向左平移 个单位，再向上
平移 个单位，
所以 的图象关于点 对称，即选项 B 正确；
选项 C，令 ，则 ，
所以 ，其中 ，
所以 ，即选项 C 正确；
选项 D，因为 是上凸函数，
所以对任意 ，有 ，即选项 D 错误．
故选：ABC.
10. 若 ，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】对于 A：利用基本不等式，结合已知条件求解 的取值范围；对于 B：利用不等式
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可判断；对于 C：变形 ，然后利用基本不等式求解其最
小值；对于 D：令 ，且 ，于是 ，然后利用基本
不等式求解其最小值．
【详解】因为 ，所以有 ．
对于 A：因为 ，
所以 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 A 正确；
对于 B：因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 B 正确；
对于 C：因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 C 错误；
对于 D：令 ，所以 ，且 ，
于是
，
当且仅当 ，即 时取等号，故 D 错误，
故选：AB．
11. 已知定义在 上且不恒为 0 的函数 ，对任意 ，都有 ，则（ ）
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A.
B. 函数 是奇函数
C. 对 ，有
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用特殊值判断 A，当 时，令 得到 ，再结合奇偶性判断 B，结合 B 选
项及特殊值判断 C，推导出 ，即可判断 D.
【详解】对于 A，因为对任意 ，都有 ，
令 ， 得
， A 正确．
对于 B，当 时，令 ，则有 ，
， ，
又 ， ， 为奇函数， B 正确．
对于 C，由 B 知， 不恒等于 ，即 时， C 错误．
对于 D， ，
由 知， ，
，
，
，
，
，故 D 正确．
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故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题 B 选项解答的关键是得到 ，D 选项关键是推导出
.
非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 求值： __________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据根式与指数幂的运算性质即可求解.
【详解】
，
故答案为：3
13. 若 函 数 （ 且 ） 的 图 象 过 定 点 A， 且 点 A 在 幂 函 数
上，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数 定义得到 ， ，根据指数函数的性质得到定点为 ，从而代入求
解，得到 .
【详解】 是幂函数，则 ，所以 ， ．
在 中，令 ，得 ，所以定点为 ，
故 ，又 ，解得 ．
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故答案为：
14. 设 ，若有不相等的实数 满足 ，则 的取值
范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式作出函数的图象，得到 的范围，再由 得到 ，从而得解.
【详解】对于 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，且当 时， ；
当 时， ，则 ，
且当 时， ，当 时， ，；
作出函数 的图象，如图，
不妨设 ，因为 ，则 ，
由 得 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
则 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15. 已知集合 .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ，可得 ，再分 和 两种情况讨论即可；
（2）由 是 的充分不必要条件，可得 是 的真子集，再根据集合的包含关系列出不等式，即
可得解.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
当 时， ，
则 ，解得 ；
当 时，
则 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
因为 是 的充分不必要条件，
所以 是 的真子集，
所以 ，（不同时取等号），解得 .
所以实数 的取值范围 .
16. 已知函数 ．
（1）判断 的奇偶性，并证明；
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（2）若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 是奇函数，证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可；
（2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得 对一切 成立，最后应
用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围.
【小问 1 详解】
是奇函数，证明如下，
的定义域为 ，关于原点对称，
，
是奇函数；
【小问 2 详解】
是增函数，
是 上的减函数，
原不等式可化为 ，
即 对一切 成立，
①当 时， 恒成立，符合题意；
②当 时，则有 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
17. 已知函数 ， ．
（1）单调性的定义证明 在区间 上是增函数；
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（2）解关于 的不等式： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明；
（2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域.
【小问 1 详解】
任取 ，且 ，
则 ，
因为 ， ，
则 ， 且 ， ，
可得 ，则 ，即 ，
所以 在 上单调递增.
【小问 2 详解】
由（1）知： 上单调递增，
因为 ，可得 ，解得： ，
故不等式 的解集为 .
18. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销 两种商品，据市场调查统计，当投资额为
万元时，经销 商品所获得的收益分别为 万元与 万元，其中 ，
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，小王计划投入 10 万元全部用于经销这两种商品．
（1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；
（2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．
【答案】（1）答案见详解
（2） 商品投入 8 万元， 商品投入 2 万元，总收益最大值为 16 万元
【解析】
【分析】（1）由题意可知 ，分别代入 和 运算求解即可；
（2）设 商品投入 万元，则 商品投入 万元，分 和 两种情况，利用基本不等式
以及二次函数性质运算求解即可.
【小问 1 详解】
因为投入 10 万元，即 ，
若只经销 商品，则所获得 收益为 万元；
若只经销 商品，则所获得的收益为 万元.
【小问 2 详解】
设 商品投入 万元，则 商品投入 万元，
可知总收益 ，
若 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以在 上的总收益最大值为 16 万元；
若 ，则 ，
可知 的图象开口向下，对称轴为 ，则 ，
所以在 上的总收益最大值小于 万元；
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因为 ，所以 商品投入 8 万元， 商品投入 2 万元，总收益最大值为 16 万元.
19. 已知函数 .
（1）指出函数 的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数 的
图象；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若关于 的方程 恰有 个不同的实数解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）定义域： ， 是偶函数，在区间 和 上单调递增，在区间
和 上单调递减，值域为 ，作图见解析；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】（1）将函数 表示为分段函数，利用基本初等函数的基本性质可得出函数 的定
义域、奇偶性、单调性和值域，并结合解析式作出该函数的图象；
（2）令 ，可得出不等式 在 恒成立，然后利用参变量分离法
得出 ，求出函数 的最大值，即可得出实数 的取值范围；
（3）令 ，结合题意可得知关于 方程 的两根 ， ，然后利用二次
函数的零点分布列出关于 、 的不等式组，即可求出实数 的取值范围.
【详解】（1） ， ，函数 是偶函数，
在区间 和 上单调递增，在区间 和 上单调递减，
函数 的最大值是 ，无最小值，值域为 .
作图如下：
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（2）因为关于 的不等式 恒成立，
令 ，则 ，即不等式 在 恒成立.
当 时，因为 ，所以 .
又 ，所以 ；
（3）关于 的方程 恰有 个不同的实数解即
有 个不同的解，如下图所示：
当 时，方程 有四个根；当 时，方程 有两个根；
当 或 时， 方程 无解.
设方程 的两根分别为 、 ，则 ， .
令 ，则 .
因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查函数基本性质的求得、函数不等式恒成立以及复合型二次函数的零点个数问题，一般利
用换元法转化为内层函数和外层函数的零点问题，同时也考查了二次函数的零点分布问题，考查数形结合
思想的应用，属于中等题.
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