树德中学2025-2026学年高三上学期10月月考+数学试题（附答案）

这是一份树德中学2025-2026学年高三上学期10月月考+数学试题（附答案），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
4．设直线l的方程为，圆C的方程为，则直线l与圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相离 D．无法确定
5．函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
6．在的展开式中，的系数是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．某校的教学楼每层楼有13级台阶，一名教师从一楼到二楼，每次可以选择跨1级、2级、3级台阶，但固定最后一步不能跨3级台阶（避免台阶过高摔倒），那么该教师一共有（ ）种不同的走法．
A．1049B．1144C．1431D．1705
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．
B．若，则
C．在上单调递增
D．的图象可由曲线向右平移个单位得到
10．抛掷一枚质地均匀的骰子1次（骰子的六个面分别标注的点数为1，2，3，4，5，6），记试验的样本空间，事件，事件，则（ ）
A．事件A与B是互斥事件B．事件与是相互独立事件
C．D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．曲线关于对称
C．方程在上有3个不相等的实数解
D．存在，使得不等式成立
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．
12．双曲线的渐近线与抛物线的准线围成的封闭图形面积为________．
13．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，D为BC的中点，，AD与BE相交于点F，则________．
14．已知，且，若不等式恒成立．则当实数m取得最大值时，a的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）等比数列中，，且数列单调递增.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
16．（本小题满分15分）如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，点在棱上．
（1）若为的中点，证明：；
（2）若直线与平面PCD所成角的正弦值为，求的值．
17．（本小题满分15分）2025年10月1日，某商场为了迎接促销，决定在商场内举办抽奖活动，盒子内有编号1—5的大小相同、质地均匀的5个小球．小球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖（安慰奖）．规则如下：某顾客可以连续抽奖2次，每次抽奖完成后将小球放回盒子，且每次抽奖的结果互不影响．
（1）若某顾客第1次未抽到一等奖，求该顾客在第2次抽到一等奖的概率；
（2）记某顾客第k次抽到的奖品等级为，若用表示“2次抽到奖品的等级差”，求Y的分布列与数学期望．
18．（本小题满分17分）如图所示，由半椭圆
和两个半圆、组成曲线C：，其中点依次为的左、右顶点，点B为的下顶点，点依次为的左、右焦点.若点分别为曲线的圆心.
（1）求的方程；
（2）点和点D分别在曲线和曲线上，求出线段的最大值；
（3）若过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值.
19．（本小题满分17分）已知函数．
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）已知函数有两个正零点，且．
（i）求证：；
（ii）当时，不等式恒成立，求证：．
参考答案
一．选择题
二．填空题
12． 13． 14．
三．解答题
15．（1）设等比数列的公比为q
由题意得，分
解得分
因为单调递增，所以分
所以的通项公式为，即分
（2）因为，所以，分
记，则，分
所以
即分
综上所述分
16．（1）证明：因为平面，平面，所以，
由，，可得，
因为，所以平面分
因为平面，所以，分
因为，为的中点，所以，分
又因为、平面，，所以平面
又因为平面，所以．分
（2）如图，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，2，，，0，，分
所以，
设平面PCD的法向量为，因为
所以，取分
令，则，
设直线与平面PCD所成角为，则，分
所以，整理得，分
解得或，可得，所以或．分
17．（1）因为两次抽奖相互独立，记“第2次抽到一等奖”为事件B，则分
（2）由题意知Y的取值可能为0，1，2，3，4，
分
分分
分
分
所以Y的分布列为
所以Y的数学期望为分
18．（1）由两圆的方程知：圆心分别为，，即，，
，解得：，分
分
由已知，当且仅当三点共线时，的长度取得最大值为分
当点C与重合时，的最大值为分
所以的最大值为分
（3）由已知：分
因为，所以由对称性可知：为椭圆截直
线所得弦长，分
设，
设与椭圆交于点和，
由得：，则，
所以，，分
所以分
当时，取得最小值，
所以的最小值为分
19．（1）当时， ，定义域为R ，
求导得： ， ，分
当时，，单调递减
当时，，单调递增
所以分
所以函数在R上单调递增分
（2）由题意知方程有两个不同的正实根，
即方程有两个不同的实数解，数形结合得到
因为 ，，
两边同时取自然对数，得，分
两式相减得，即，分
（i）要证 ，只需证明 ，
令 ，只需证明分
构造函数 ，求导得 ，
所以函数在上单调递增，于是，
所以不等式成立，
综上：不等式成立分
（ii）结合（i）知当 时， ；
当时， ；当时， 分
所以要满足恒成立，
则关于x的方程 的两根也是，
所以 ， 分
所以 ，
所以成立分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
C
B
A
D
B
C
C
ACD
CD
ABD
Y
4
3
2
1
0
P