四川省成都市树德中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附答案）

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本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
4．设直线l的方程为，圆C的方程为，则直线l与圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相离 D．无法确定
5．函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
6．在的展开式中，的系数是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．某校的教学楼每层楼有13级台阶，一名教师从一楼到二楼，每次可以选择跨1级、2级、3级台阶，但固定最后一步不能跨3级台阶（避免台阶过高摔倒），那么该教师一共有（ ）种不同的走法．
A．1049B．1144C．1431D．1705
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．
B．若，则
C．在上单调递增
D．的图象可由曲线向右平移个单位得到
10．抛掷一枚质地均匀的骰子1次（骰子的六个面分别标注的点数为1，2，3，4，5，6），记试验的样本空间，事件，事件，则（ ）
A．事件A与B是互斥事件B．事件与是相互独立事件
C．D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．曲线关于对称
C．方程在上有3个不相等的实数解
D．存在，使得不等式成立
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．
12．双曲线的渐近线与抛物线的准线围成的封闭图形面积为________．
13．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，D为BC的中点，，AD与BE相交于点F，则________．
14．已知，且，若不等式恒成立．则当实数m取得最大值时，a的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）等比数列中，，且数列单调递增.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
16．（本小题满分15分）如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，点在棱上．
（1）若为的中点，证明：；
（2）若直线与平面PCD所成角的正弦值为，求的值．
17．（本小题满分15分）2025年10月1日，某商场为了迎接促销，决定在商场内举办抽奖活动，盒子内有编号1—5的大小相同、质地均匀的5个小球．小球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖（安慰奖）．规则如下：某顾客可以连续抽奖2次，每次抽奖完成后将小球放回盒子，且每次抽奖的结果互不影响．
（1）若某顾客第1次未抽到一等奖，求该顾客在第2次抽到一等奖的概率；
（2）记某顾客第k次抽到的奖品等级为，若用表示“2次抽到奖品的等级差”，求Y的分布列与数学期望．
18．（本小题满分17分）如图所示，由半椭圆
和两个半圆、组成曲线C：，其中点依次为的左、右顶点，点B为的下顶点，点依次为的左、右焦点.若点分别为曲线的圆心.
（1）求的方程；
（2）点和点D分别在曲线和曲线上，求出线段的最大值；
（3）若过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值.
19．（本小题满分17分）已知函数．
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）已知函数有两个正零点，且．
（i）求证：；
（ii）当时，不等式恒成立，求证：．