人教版2025—2026学年九年级上册数学期中考试自我检测试（湖南长沙专用）

这是一份人教版2025—2026学年九年级上册数学期中考试自我检测试（湖南长沙专用），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列关于的函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下B．当时，y有最大值为2
C．对称轴是直线D．与y轴的交点坐标为
4．如图，将（其中）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．B．C．D．
5．将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
6．方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．有个相等的实数根
C．有个不相等的实数根D．无法确定
7．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（ ）
A．10B．8C．8或10D．6或10
9．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．已知抛物线经过点、，则下列结论：①若，、在该抛物线上，；②若抛物线与y轴交于点，当时y的最大值与最小值的差为6；③平面直角坐标系内，线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，a的取值范围是；④以为直径的圆与x轴下方抛物线有交点，则a的取值范围是．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第4题图
第9题图
第16题图
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
13．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
14．抛物线与轴只有一个交点，则 ．
15．是一元二次方程的一个实数根，则代数式＝ ．
16．如图正方形ABCD的边长为8，E为边BC上一定点，且BE＝2，P为边AB上一动点，连EP，若将EP绕点P逆时针旋转90°至PQ，连AQ，则AQ的最小值为 ．
第II卷
人教版2025—2026学年九年级上册数学期中考试自我检测试卷（湖南长沙专用）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)； (2)．
18．已知关于x的方程．
（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；
（2）当k为何整数时，方程有两个不相等的整数根?
19．已知，是关于的一元二次方程的两实根，
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
20．在平面直角坐标系中， 的顶点为 ， ．
(1)请画出 关于原点 成中心对称的 ，并写出点 的坐标；
(2)在（1）的条件下，连接 、 ，求出 的面积．
21．在等腰中，，且．
（1）如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点在的斜边上，连．
①线段与的关系为________，并证明你的结论．
②求证：；
（2）如图2，为上一点，，则的长为________．
22．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．
（1）旋转角为 度；
（2）求点P与点Q之间的距离；
（3）求∠BPC的度数；
（4）求△ABC的面积S△ABC．
23．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．
(1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为x（）元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
(2)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？
(3)每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？
24．如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且过点．
(1)求抛物线表达式；
(2)如图，点为抛物线在轴左侧的一个动点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，连接，，，若时，求点的坐标．
25．我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题：
(1)二次函数的“W”函数图像如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）；
①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（ ）
②当时，函数取最小值1；（ ）
③当或时，y随x的增大而减小．（ ）
(2)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值；
(3)在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围．
参考答案
一、选择题
二、填空题
11．6
12．
13．/
14．
15．3
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
.
解得，．
18．【解】解：（1）当 时， 是关于的一元二次方程．

∵不论为何值时，，
∴方程总有实数根；
当时，是关于的一元一次方程．
∴
∴
∴方程有实数根
∴不论为何值时，方程总有实数根；
（2）
分解因式得
解得：
∵方程有两个不相等的整数根
∴为整数，且
所以
19．【解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两实根，
∴，
解得：；
（2）解：根据题意可得：，
∴，
即，
解得：．
∵，
∴舍去，
∴的值为．
20．【解】（1）解：如图所示，即为所求；
点坐标为，点坐标为；
（2）解：如图所示，连接，过点作轴
∴的面积；
21．【解】解：（1）①，，证明如下：
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在和，
，
，
∵在中，，
．
，
∴，
∴，；
②由（1）①可知，，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴在中，由勾股定理得，即，
；
（2）如图，将绕点C顺时针旋转到的位置，连接，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
22．【解答】解：（1）∵将△APB绕点B逆时针旋转，
∴∠PBQ＝∠ABC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠PBQ＝∠ABC＝60°，
∴旋转角度为60°，
故答案为：60；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
（3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
（4）如图，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CH＝PC＝，PH＝HC＝，
∴BH＝4+，
∴BC2＝BH2+CH2＝+（4+）2＝25+12，
∵S△ABC＝BC2，
∴S△ABC＝（25+12）＝+9．
23．【解】（1）解：由题意得：；
∴该商品销售量y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由（1）可得：，
解得：，
∵尽可能让利于顾客，
∴；
答：每个毛绒玩具售价应定为50元．
（3）解：设利润为w元，由题意得：
，
∵，
∴当时，利润w有最大值，最大值为1250；
答：每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元．
24．【解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∴，
∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：当，
解得：，，
∴，，
∵，
设直线的解析式为，
把代入，得，
∴直线表达式为，
设点的坐标为，，，
如图，当点在直线上方时，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，解得：，
经检验：是原方程的解，
∴；
如图，当点在直线下方时，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，解得：，
经检验：是原方程的解，
∵，
∴，
∴；
综上可知：点的坐标为或．
25．【解】（1）二次函数，顶点为，
它的“W”函数图象的“平衡点”为．
当时，，解得，，
它的“W”函数图象与x轴的交点是和，故说法①正确；
由图知，当或时，函数取最小值0，故说法②错误；
由图知，当或时，y随x的增大而减小，故说法③正确；
故答案为：①√；②×；③√．
（2）由关于x的二次函数可得其图象顶点A的坐标为，
由对称可得它的“W”函数图象的“平衡点”B的坐标为，
，
当时，，
解方程得，，
，
由对称可得线段AB与线段CD互相垂直平分，
当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，，
即，解得，，
，
．
（3）当时，，
解得，，
如图，作抛物线的对称轴交抛物线的“W函教”图象于点B，分两种情况：
①由图象可知，在图象CB段，“W”函数的值随x的增大而增大，
则，
解得．
②由图象可知，在图象点D的右侧，“W”函数的值随x的增大而增大，
则，
解得．
综上所述，实数h的取值范围为或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
C
C
A
B
A
C
B