安徽省合肥市庐阳中学九年级上学期12月份月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省合肥市庐阳中学九年级上学期12月份月考数学试卷（解析版）-A4，共25页。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．利用特殊角三角函数值代入计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
2. 抛物线的对称轴是（ ）
A. y轴B. x轴C. 直线D. 直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，由解析式，直接代入对称轴公式“直线”，从而可以判断得解．
【详解】解：∵抛物线，
∴，，，
∴对称轴为直线．
∴对称轴为y轴．
故选：A．
3. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，．
故选：B．
4. 如图，沿着斜坡前进10米，实际上升高度为6米，则该斜坡的坡度（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查学生对坡度的理解．根据题意，利用勾股定理可先求出水平距离，再求出这个斜坡的坡度即可．
【详解】解：根据题意，水平距离为：，
∴坡度；
故选：B．
5. 如图，抛物线（，，是常数且）的部分图象与轴交于点，则方程的解为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点与一元二次方程的关系，掌握抛物线与轴的交点是对应一元二次方程的解是关键．根据抛物线与轴的两个交点到对称轴的距离相等，则可得另一个交点的坐标，关于的方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴是，图象与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
方程的解为，
故选：C．
6. 如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据平行四边形性质得到平行是关键．根据平行四边形性质得，，可得，，．
【详解】解：A、四边形是平行四边形，
，
，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，
，不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
，不符合题意；
D、无法证明，符合题意；
故选：D．
7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键．
连接，先证明为直角三角形，即可求解．
【详解】解：连接，

∵，，，
∴，
∴，即为直角三角形，
∴，
故选：D．
8. 抛物线（k是常数且）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的综合，分两种情况讨论：①当时，②当时，分别判断反比例函数图象与抛物线的位置，即可求解，熟练掌握反比例函数与二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：分两种情况讨论：
当时，反比例函数在第一、三象限，而二次函数开口向上，顶点在轴上，且与轴交点为，故四个选项都不符合题意；
当时，反比例函数在第二、四象限，而二次函数开口向下，顶点在轴上，且与轴交点为，故A选项符合题意，
故选：A．
9. 如图，直线分别与x轴、y轴交于点B，A，直线分别与x轴、y轴交于点C，A，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，则，于是可求得直线、与轴的交点，进而可求得的长，令，则，解方程即可求出直线与轴的交点B4,0，进而可求得的长，令，则，解方程即可求出直线与轴的交点，进而可求得与的长，然后利用勾股定理可求得与的长，进而可求得，过点作于点，由三角形的面积公式可得，即，据此可求得的长，然后利用勾股定理可求得的长，进而可求得，据此即可判断选项；又可求得，，据此即可判断选项；又可求得，，据此即可判断选项；又可求得，，据此即可判断选项；综上，于是可得答案．
【详解】解：令，则，
，
，
令，则，
解得：，
，
，
令，则，
解得：，
，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
，
，
，
，
，故选项不符合题意；
，
，
，故选项不符合题意；
，
，
，故选项不符合题意；
，
，
，故选项符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数的函数值，解一元一次方程，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差，勾股定理，求角的正弦值，三角形的面积公式，等式的性质，求角的余弦值，求角的正切值等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
10. 如图，与是四边形的对角线，，已知，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，过点C作，使，连接，证明得，进而得，再由勾股定理得，再根据三角形三边关系得（当点E位于上时，等号成立），即可得出结论．
【详解】解：如图，过点C作，使，连接，
∴，
∴，即，
又∵，
，
，
∴，
在中，，
在中，由三边关系，得（当点E位于上时，等号成立），
故的最大值．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若锐角α满足，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角三角函数值，根据特殊角的三角函数值可得，从而得到，进而即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
12. 如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为__________．
【答案】10
【解析】
【分析】设点坐标为，由于线段经过原点，由双曲线的对称性可知，点坐标为，进而可得，，由已知条件及三角形的面积公式可得，即，据此即可求出的值．
【详解】解：设点坐标为，
线段经过原点，
由双曲线的对称性可知，点坐标为，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，由反比例函数图象的对称性求点的坐标，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，等式的性质等知识点，熟练掌握反比例函数与几何综合是解题的关键．
13. 如图，为了测量河宽，从处测得对岸的夹角，从处测得对岸C的夹角，点和点位于点的两侧，测得米，则点到的距离为__________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，首先过点作，设米，把AD、BD用含的代数式表示出来，可得方程，解方程求出点到的距离.
【详解】解：如下图所示，过点作，
设米，
，
米，
在中，，
，
，
，
，
解得：，
点到的距离为米．
故答案为： ．
14. 已知抛物线（m，n是实数且）经过．
（1）若，则该抛物线的顶点坐标为__________；
（2）若该二次函数满足当时，总有y随x的增大而减小，则代数式的最小值为__________．
【答案】 ①. ②. 5
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数的图象和性质．
（1）将代入得，再将2,1代入得，再将抛物线解析式变形为顶点式即可得顶点坐标；
（2）当时，总有y随x的增大而减小，则，，由抛物线过点得，代入得，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线过点2,1，，
∴抛物线，，
解得，
，
∴顶点坐标为，
故答案为：；
（2）∵抛物线过点，
，
，
当时，总有y随x的增大而减小，
，，
∴，，
∴，
，
∴函数的对称轴为直线，
∴当时，随增大而减小，
∴当时，函数取得最小值为5，
即的最小值是5．
故答案为：5．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
．
16. 在中，分别是的对边，，解这个直角三角形．
【答案】，，
【解析】
【分析】先利用直角三角形锐角互余求，再用含30度角的直角三角形的性质求出，再用的正切求出．
【详解】解：在中，，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．详解片段
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务．
（1）和关于y轴对称，画出；
（2）若与（1）中的是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限．
①画出；
②__________．
【答案】（1）见解析 （2）①图见解析；②
【解析】
【分析】本题考查了作图-位似变换、作图-轴对称变换．
（1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可；
（2）①由（1）及位似性质进行作图即可；
②由（1）得，进而得．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：①如图，即为所求；
②∵和关于y轴对称，
∴，
∵与的位似比为，
∴，
即，
故答案为：．
18. 如图，已知一次函数（k，b是常数且）的图象与双曲线（n是常数且）交于两点，与x轴交于点C．
（1）求m，n，k，b的值；
（2）求的面积；
（3）直接写出不等式组解集：__________．
【答案】（1），，，
（2）2 （3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，
（1）先由点、在双曲线上求出m，n的值，即可得，再由、在一次函数上，求出k，b的值即可；
（2）过点A作于点D，分别求出、的长，再由即可得的面积；
（3）观察函数图象可得不等式组的解集是x轴上方，双曲线下方的图象对应的x的取值范围．
【小问1详解】
解：∵点、在双曲线上，
∴，
解得：，
∴，
∵点、在一次函数上，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：如图，过点A作于点D，
∵点
∴，
由（1）得在一次函数，
令，则，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：∵点，，
结合函数图象可得不等式组的解集为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是的高线，是上一点，，若，．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】首先过点作于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可得，根据正弦的定义可得，可以求出的长度；
根据可得：，，利用勾股定理可以求出的长度，根据等腰三角形的性质可以求出的长度，根据平行线分线段成比例定理可以求出BD的长度，从而可求AD的长度，根据正切的定义可求的值．
小问1详解】
解：如下图所示，过点作于点，
是高线，
，
，
，
又，
，
可得：，
解得：，
在中，，
，
解得： ；
【小问2详解】
解：由可得：，，
，，
是的垂直平分线，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用相似三角形的性质得出相应线段的比例关系．
20. 某数学兴趣小组测量两幢教学楼楼顶之间的距离，实践报告如下，请你帮助兴趣小组解决问题．
【答案】两幢楼楼顶A、B之间的距离约为91.2米
【解析】
【分析】过点B作于M，由正切三角函数可求出相应边的长度，最后由勾股定理即可求解．
【详解】解：过点B作，垂足为M，如图：
由题意可知四边形和都是矩形，
米，米，米，
在中，米，
在中，米，米米米，
在中，（米），
∴两幢楼楼顶A、B之间的距离约为91.2米．
【点睛】本题考查了解直角三角的应用，勾股定理，能根据题意作出辅助线构造直角三角形求解是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 如图，某一海域有4个小岛，其中小岛位于同一条直线上，经测量，小岛A位于小岛B北偏东且小岛A位于小岛C北偏东，小岛B和小岛C之间的距离为海里．
（1）求小岛A和小岛C之间的距离的长；（结果保留根号）
（2）若小岛D位于小岛A东偏南方向，求小岛A与小岛D之间的距离的长．（参考数据：；结果精确到海里）
【答案】（1）小岛A和小岛C之间的距离的长为海里
（2）小岛A与小岛D之间的距离的长约为海里
【解析】
【分析】本题主要考查了方向角的定义，解直角三角形，等腰三角形，三角形所对的直角边为斜边的一半，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键就是作高线．
（1）过点C作于点E，由题意可知是等腰直角三角形，通过三角函数可得的值，通过角的和差可得的值，进而得出的值，再根据所对的直角边为斜边的一半可得的值，从而得解．
（2）过点C作于点F．由题意可知，，的值，再根据三角函数可得，，从而根据求解即可．
【小问1详解】
解：如图，过点C作于点E．
由题意可知，
是等腰直角三角形，
（海里）．
由题意可知，
．
在中，，
则（海里）．
答：小岛A和小岛C之间的距离的长为海里．
【小问2详解】
如图，过点C作于点F．
由题意可知，则，
，
（海里），
在中，，
（海里）．
答：小岛A与小岛D之间的距离的长约为海里．
七、（本题满分12分）
22. 在正方形中，P是边上的一个动点，已知，且，连接．
（1）如图1，证明：；
（2）连接交于点和分别交于点F，G．
①如图2，若P是的中点，证明：；
②如图3，连接，判断与之间的位置关系并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先由正方形和等腰直角三角形的性质得，，进而得，证明，即可得；
（2）①连接，过点Q作于点H，则，再由得，，进而得，证得，再由P是的中点，，结合，得到，即可得出结论；
②证明、，得，即可得．
【小问1详解】
证明：如图1，连接．
且，
是等腰直角三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，是对角线，
是等腰直角三角形，
∴，，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：①如图2，连接，过点Q作于点H，则，
由（1）可知，
，
，
是等腰直角三角形，
∴，
由（1）可知，
又∵，
，
，
又∵P是的中点，
∴，
∵，
∴，
；
②．
证明：连接，如图3，
由（1）可知，
又∵，
，
，
又∵，
，
，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，平行线的判定．
八、（本题满分14分）
23. 如图，已知抛物线（b，c是常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，已知．
（1）如图1，求该抛物线的表达式；
（2）如图2，P是直线上方抛物线上一点，与y轴、分别交于D，E．
①若，求点P的坐标；
②求的最大值．
【答案】（1）
（2）①；②最大值为
【解析】
【分析】本题为二次函数综合题，求函数解析式，锐角三角函数，二次函数与面积问题等知识．
（1）由点得，再结合正切的定义可分别求出，，即可得点，点，进而可得抛物线的表达式；
（2）①由得，过点P作轴于点，证明得，进而得，将代入即可得点P的坐标；
②设，由得关于t的二次函数，根据二次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：∵点，
∴，
∴，，
∴点，点，
∴；
【小问2详解】
解：①，
，
如图，过点P作轴于点，
，
又∵，
，
，
，
当时，，则；
②设，
，
，
，
活动课题
测量两幢教学楼楼顶之间的距离
活动工具
测角仪、皮尺等
测量过程
①如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪；
②利用测角仪测出楼顶A的仰角，楼顶B的仰角；
③利用皮尺测出米，米．
测量图示
解决问题
根据以上测量数据，利用三角函数知识求两幢楼楼顶A，B之间的距离
备注说明
其中测角仪的底端H与楼的底部D，F在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内
参考数据