安徽省淮北市二中联考九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省淮北市二中联考九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共24页。
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
—、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 如图，在中，，，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角函数，直接根据，求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
故选：D．
2. 二次函数的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与性质．求出抛物线的图象和轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解：，
即抛物线的顶点坐标是，在第一象限；
当时，，
解得：，，
即抛物线与轴的交点坐标是和，在轴的正半轴上，在原点，
，
∴抛物线的图象的开口向下，
即抛物线图象过第一、三、四象限，不过第二象限．
故选：B．
3. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数是，
故选：C．
4. 某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．
利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长．
【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高，
，
解得：，
则．
故选：B．
5. 如图，是边上一点，连接，则添加下列条件后，仍不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断是解题的关键．
【详解】A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意；
B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意；
C．当时，再由，无法判定，故此选项符合题意；
D．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意．
故选C．
6. 如图，在中，，，，则的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决．
过点A作，垂足为D．在中和中，分别用表示出、，根据的长求出，再求三角形的面积．
【详解】如图，过点A作，垂足为D．

在中，，
∴
∴．
在中，，
∴
∴
∵，
∴，
即
∴．
故选：A．
7. 某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清题意找准数量与价格变化关系是解题的关键．
设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，根据每件利润实际售价成本价，销售量原销售量变化量，总利润每件利润数量，即可得出答案．
【详解】解：设每件电子产品售价为元，商家每天的利润为元，
则每件盈利元，每天可销售件，
根据题意得：，
故选：D．
8. 如图，相交于点，点都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质. 取格点和，点和恰好在直线上，利用网格特征得到，，再证明，然后根据相似三角形的性质求解.
【详解】解：根据网格特点取格点和，则点和恰好在直线上，
则，，
∵，
，
.
故选：D．
9. 如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，N，则的面积为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】设点P的坐标为，则点N的坐标为，点的坐标为，即可求得，，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：设点P的坐标为，
轴，轴，
点N的坐标为，点的坐标为纵坐标为，
，解得，
点的坐标为，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，反比例函数的应用，三角形的面积公式，分别求得点M、N的坐标是解决本题的关键．
10. 在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连接，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，证明，得出，求出，，，，根据，，得出，求出，求出，，根据勾股定理求出，得出．
【详解】解：设，，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵两对全等的直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，，
∵，，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，数形结合．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若，则锐角______°．
【答案】45
【解析】
【分析】根据即可求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：45．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记角的正弦值为是解题的关键．
12. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，
设蜡烛火焰的高度为，
根据题意得，，
解得：，
∴蜡烛火焰的高度为．
故答案为：．
13. 无论取任何实数，代数式都有意义，则的最大值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次根式有意义的条件，根的判别式，熟练掌握条件是解题的关键．
令，根据题意，得，解答即可．
【详解】解：令，
∵无论取任何实数，代数式都有意义，
∴，
∴的判别式
解得，
∴的最大值为．
故答案为：．
14. 如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时．
（1）当时，则______；
（2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______．
【答案】 ①. ## ②. 4
【解析】
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
，
即，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵P为线段中点，
∴，
∴，
∵，
，
，
∴的值最小时，的值最小，此时的值最小，
∵，，，
∴，
根据垂线段最短可知，当时，此时，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键；利用特殊角三角函数化简即可．
【详解】解：
．
16. 如图，已知是坐标原点，点、点的坐标分别为．
（1）以点为位似中心在轴的左侧将放大到原来的2倍得到；
（2）在（1）的条件下，若周长为，则的周长为___________．
【答案】（1）图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查坐标系中画位似图形，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键：
（1）根据位似图形的性质，画出即可；
（2）根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，进行求解即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
由题意，得：，相似比为：，
所以两个三角形的周长比为，
因为周长为，
所以周长为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角：
（1）由等边对等角，得，结合，即可作答；
（2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴
∵，
∴
解得
18. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：）
【答案】每节拉杆的长度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
在图1中，过点A作于，设每节拉杆的长度为，由，得，在图2中，过点A作于点， 由，得，得，解方程即可得．
【详解】解：如图1，过点A作于，设每节拉杆的长度为，
在中，，
，
，
如图2，过点A作于点，
在中，，
，
，
由题意得，，
解得，
答：每节拉杆的长度约为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）结合函数图象，当时，直接写出y的取值范围：_____；
（2）若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）四边形面积的最大值为4．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线解析式求得当和时y的值，再结合函数图象作答即可；
（2）过点M作轴于点N，连接，设点，则，，根据构建二次函数，利用二次函数的性质求出最大值即可解决问题．
【小问1详解】
解：对于，
令，则，即，
令，则，
由函数图象知，当时，y的取值范围为，
故答案为：．
【小问2详解】
如图，过点M作轴于点N，连接，
令，则，
解得：，
，
设，则，，
，
，
，
，
当时，有最大值为4，
四边形面积的最大值为4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数的面积问题、二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题．
20. 如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（），连接．
（1）请用含t的代数式表示：______，______；
（2）求当t为何值时，与相似？
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意列式即可；
（2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当时，；当时，，再根据代入计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意知：，，
故答案为：，；
【小问2详解】
∵，，，
∴；
分两种情况讨论：
①当时，
，
∵，
∴，
解得，，
②当时，
，
∴，
解得，；
∴或时，．
【点睛】本题考查了相似三角形动点问题以及勾股定理，熟练掌握相似三角形判定与性质是解本题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)
（2）小吉通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）支点离桌面的高度为；
（2）当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．
（1）过点作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点离桌面的高度；
（2）过点作，过点作于点，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端离桌面的高度增加或减少了．
【小问1详解】
解：过点作于点，过点作于点，
．
由题意得：，
四边形为矩形，
，．
，
．
，
．
．
答：支点离桌面的高度为；
【小问2详解】
解：过点作，过点作于点，
．
，，
．
当时，；
当时，；
当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约．
七、（本题满分12分）
22. 已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是BD的中点，连结并延长，交边于点F．

（1）求的正切值；
（2）求的值．
【答案】（1）的正切值为，详见解析
（2），详见解析
【解析】
【分析】（1）先根据三角函数值求的长，由勾股定理得的长，根据三角函数定义可得结论；
（2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设，分别表示和的长，代入可得结论．
【小问1详解】
∵，
∴，
在中， ，
∴，
由勾股定理得：，
∵E是的中点，
∴，
∴的正切；
【小问2详解】
过D作交于G，

∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是考查了解直角三角形，平行线截线段成比例定理，勾股定理等知识点，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形．
八、（本题满分14分）
23. 【问题背景】在平面直角坐标系中，已知点，则线段中点的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，四边形是平行四边形．
【构建联系】
若点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
深入探究】
（3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点为的中点，过点作于点，求的值．

【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式；
（2）设Aa,0，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点代入反比例函数解析式求得，即可求解；
（3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设，即，利用中点坐标公式求得点的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与、轴的交点，利用勾股定理求得，可得，过点作，由平行线定理可得，利用锐角三角函数求得，即可求解．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为，
，
，
把点的坐标代入，得，
解得，
反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
解：设Aa,0，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点是边的中点，
，即，
把点的坐标代入，得，
解得，
，
．
【小问3详解】
解：将直线向上平移6个单位得到直线，
联立，即，
设，
，
点为的中点，
点的横坐标为，
把代入，得，
，
，
过点作于点，交轴于点，交轴于点，
把代入，得；
把代入，得，解得，
直线与轴交于点，
，
，
．
，
，
，
，
，
．