安徽省淮北市第二中学上学期九年级第三次数学月考试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省淮北市第二中学上学期九年级第三次数学月考试卷（解析版）-A4，共24页。
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 已知在中，，，，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求角的正切值，根据正切的定义计算即可得解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
故选：D．
2. 二次函数的图象一定不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与性质．求出抛物线的图象和轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解：，
即抛物线的顶点坐标是，在第一象限；
当时，，
解得：，，
即抛物线与轴的交点坐标是和，在轴的正半轴上，在原点，
，
∴抛物线的图象的开口向下，
即抛物线的图象过第一、三、四象限，不过第二象限．
故选：B．
3. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数是，
故选：C．
4. 某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．
利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长．
【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高，
，
解得：，
则．
故选：B．
5. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解，
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理．
【详解】解：A、∵，，
∴，不符合题意，
B、∵，，
∴，不符合题意，
C、根据无法得到，符合题意，
D、∵，
∴，
又∵，
∴，不符合题意，
故选：C．
6. 如图，在中，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识．过点A作，垂足为D．在中和中，分别用表示出、，根据的长求出，再求三角形的面积．
【详解】解：如图，过点A作，垂足为D．
在中，，
∴
∴．
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故选：A．
7. 某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清题意找准数量与价格变化关系是解题的关键．
设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，根据每件利润实际售价成本价，销售量原销售量变化量，总利润每件利润数量，即可得出答案．
【详解】解：设每件电子产品售价为元，商家每天的利润为元，
则每件盈利元，每天可销售件，
根据题意得：，
故选：D．
8. 如图，相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确找出两个相似三角形是解题关键．取格点，连接，先结合网格特点证出点三点共线，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，取格点，连接，
由网格特点可知，，，，
∴，
∴点三点共线，
又∵，
∴，
∴，
故选：D．
9. 如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，N，则的面积为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，反比例函数的应用，三角形的面积公式，分别求得点M、N的坐标是解决本题的关键．
设点P的坐标为，则点N的坐标为，点的坐标为，即可求得，，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：设点P的坐标为，
轴，轴，
，
点N的坐标为，点的坐标为纵坐标为，
，解得，
点的坐标为，
，，
，
故选：A．
10. 在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连接，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，证明，得出，求出，，，，根据，，得出，求出，求出，，根据勾股定理求出，得出．
【详解】解：设，，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵两对全等的直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，，
∵，，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，数形结合．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若，则锐角_______°．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查了根据三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值可得，求解即可．
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，
设蜡烛火焰的高度为，
根据题意得，，
解得：，
∴蜡烛火焰的高度为．
故答案为：．
13. 无论取任何实数，代数式都有意义，则的最大值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次根式有意义的条件，根的判别式，熟练掌握条件是解题的关键．
令，根据题意，得，解答即可．
【详解】解：令，
∵无论取任何实数，代数式都有意义，
∴，
∴的判别式
解得，
∴最大值为．
故答案：．
14. 如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时．
（1）当时，则______；
（2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______．
【答案】 ①. ## ②. 4
【解析】
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
，
即，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵P为线段的中点，
∴，
∴，
∵，
，
，
∴的值最小时，的值最小，此时的值最小，
∵，，，
∴，
根据垂线段最短可知，当时，此时，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合计算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可得解．
【详解】解：
．
16. 如图，已知是坐标原点，点、点的坐标分别为．
（1）以点为位似中心在轴的左侧将放大到原来的2倍得到；
（2）在（1）的条件下，若周长为，则的周长为___________．
【答案】（1）图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查坐标系中画位似图形，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键：
（1）根据位似图形的性质，画出即可；
（2）根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，进行求解即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
由题意，得：，相似比为：，
所以两个三角形的周长比为，
因为周长为，
所以的周长为．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角：
（1）由等边对等角，得，结合，即可作答；
（2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴
∵，
∴
解得
18. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：）
【答案】每节拉杆的长度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
在图1中，过点A作于，设每节拉杆的长度为，由，得，在图2中，过点A作于点， 由，得，得，解方程即可得．
【详解】解：如图1，过点A作于，设每节拉杆的长度为，
在中，，
，
，
如图2，过点A作于点，
在中，，
，
，
由题意得，，
解得，
答：每节拉杆的长度约为．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）结合函数图象，当时，直接写出y的取值范围：_____；
（2）若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）四边形面积的最大值为4．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线解析式求得当和时y的值，再结合函数图象作答即可；
（2）过点M作轴于点N，连接，设点，则，，根据构建二次函数，利用二次函数的性质求出最大值即可解决问题．
【小问1详解】
解：对于，
令，则，即，
令，则，
由函数图象知，当时，y的取值范围为，
故答案为：．
【小问2详解】
如图，过点M作轴于点N，连接，
令，则，
解得：，
，
设，则，，
，
，
，
，
当时，有最大值为4，
四边形面积的最大值为4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质、二次函数的面积问题、二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题．
20. 如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（），连接．
（1）请用含t的代数式表示：______，______；
（2）求当t为何值时，与相似？
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意列式即可；
（2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当时，；当时，，再根据代入计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意知：，，
故答案为：，；
【小问2详解】
∵，，，
∴；
分两种情况讨论：
①当时，
，
∵，
∴，
解得，，
②当时，
，
∴，
解得，；
∴或时，．
【点睛】本题考查了相似三角形动点问题以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
六、解答题（本题满分12分）
21. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面的高度；（结果保留根号）
（2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）高度是增加了，增加了约
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解；
（2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解．
【小问1详解】
解：过点C作于点F，过点B作于点M，
∴．
由题意得，，
∴四边形为矩形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
答：支点C离桌面的高度为．
【小问2详解】
解：过点C作，过点E作于点H，
∴．
∵，，
∴．
当时，；
当时，；
∴
∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约．
七、解答题（本题满分12分）
22. 已知：如图，在中，，，垂足为点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F．
（1）求的正切值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】对于（1），在中，根据求出，再根据勾股定理求出，即可求出，然后根据得出答案；
对于（2），过点D作，交于点G，根据“角角边”证明可得，再说明，然后根据相似三角形对应边成比例得，即可得出答案．
【小问1详解】
在中，，
∴，
解得．
根据勾股定理，得．
∵点E是的中点，
∴．
在中，；
【小问2详解】
如图所示，过点D作，交于点G，
∴.
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了余弦的应用，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
八、解答题（本题满分14分）
23. 【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为 ，则中点坐标为，
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形 是平行四边形．
【构建联系】
若点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
【深入探究】
（3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，求的值．
．
【答案】（1）；（2）9；（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，代入即可求反比例函数解析式；
（2）设，根据平行四边形的性质可得，利用中点坐标公式可得，再把点D代入反比例函数解析式求得，即可求解；
（3）由一次函数平移规律可得直线，联立方程组得，设、，即，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直线与x、y轴的交点、，利用勾股定理求得，可得，过点O作，由平行线间距离处处相等可得，利用锐角三角函数求得，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点B的纵坐标为3．点C的横坐标为2，
∴，
把代入，
得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
即，
∵点D在反比例函数图象上，
把代入，
得，
解得，
∴，
∴；
（3）解：∵将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，
∴联立方程组得，，
即，
设、，
∴，
∵点P为的中点，
∴点P的横坐标为，
把代入，
得，
∴，
∴，
把代入，得；
把代入，得，
解得，
∴直线与x、y轴交于点、，
∴，，
∴，
∴，
过点O作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．