河南省禹州市第三高级中学2025~2026学年高一上册（9月）月考数学试卷（附解析）

这是一份河南省禹州市第三高级中学2025~2026学年高一上册（9月）月考数学试卷（附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则与大小关系（ ）
A. B.
C. D.
2. 与集合相等的集合是（ ）
A. B.
C. D.
3. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列叙述正确的是（ ）
A. ，
B. 命题“，”的否定是“，或”
C. 命题“，”的否定是真命题
D. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件
5. 如果，是实数，那么“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列函数中，最小值为的是（ ）
A. B.
C. ，D.
8. 已知，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知实数满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 已知，.若，则（ ）
A. 的最小值为9B. 的最小值为9
C. 的最大值为D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人．
13. 集合，若,则实数a的取值范围是______．
14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知集合，，．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
16. 已知集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若，且，求m值；
（3）求实数的值使得．
17. 某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为，
（1）用、表示文字宣传区域面积和；
（2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？
18. （1）若，求的最大值；
（2）已知，求的最大值；
（3）设正实数，满足，求最小值.
19. 已知集合，集合B满足．
（1）判断，，，中的哪些元素属于B；
（2）证明：若，，则；
（3）证明：若，则．
河南省禹州市第三高级中学2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则与大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差比较法求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
2. 与集合相等的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合描述法的定义，求出集合中的元素.
【详解】12的所以正因数有，所以.
故选：B.
3. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出命题“”为真命题的充要条件，然后可选出答案.
【详解】由可得：，
当时，，所以，
则的取值范围为，
满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集,
故其一个充分不必要条件是：.
故选:C.
4. 下列叙述正确的是（ ）
A. ，
B. 命题“，”的否定是“，或”
C. 命题“，”的否定是真命题
D. 设x，，则“且”是“”的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】
【分析】通过配方可判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，写出命题的否定，即可判断 C，根据充分条件、必要条件的定义判断D.
【详解】对于A：因为，故A不正确；
对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确；
对C：命题“，”的否定为：“，”，显然，
则命题“，”为真命题，故C正确；
对于D：由“且”，得“且”，可以推得出“”，
故“且”是“”的充分条件，故D错误；
故选：BC.
5. 如果，是实数，那么“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件．
【详解】当时，满足，而，则充分性不成立；
当时，若，则，
所以，而，则；
若，则，
所以，而，则，则必要性成立．
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B
6. 已知且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC.
【详解】A：当时，，故A错误；
B：当时，满足，但不成立，故B错误；
C：当时，，故C错误；
D：由，得，故D正确.
故选：D
7. 下列函数中，最小值为的是（ ）
A. B.
C. ，D.
【答案】D
【解析】
【分析】A中举反例即可，B利用基本不等式等号成立条件不满足，C利用基本不等式求得最小值不是，D先平方，再利用二次函数求解即可.
【详解】对于A，，当时，，不符合要求，故A错误；
对于B：，当且仅当时取等号，
由得显然不成立，所以等号取不到，
即的最小值不是，故B错误；
对于C：因为，所以，
，
当且仅当时取等号，最小值不是，故C错误；
对于D：，易知，，
则，
当即或时，有最小值，即有最小值，故D对.
故选：D
8. 已知，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式性质即可求的取值范围．
【详解】设，
所以，解得，即可得，
因，，
所以，
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知实数满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用不等式的性质，逐项计算可得结论.
【详解】因为，所以，因为，所以，故A错误；
因为，所以，因为，所以，故B错误；
因为，，所以，故C正确；
因为，所以，所以，又，
所以，故D正确.
故选：CD.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式的性质、特殊值、的单调性、作差法、依次判断各选项即可得出结果.
【详解】对于A，由可得，又，因此可得，即A正确；
对于B，若，此时，即B错误；
对于C，若，所以，即C正确；
对于D，由可得，即，
同理，由可得，即，所以，即D错误.
故选：AC
11. 已知，.若，则（ ）
A. 的最小值为9B. 的最小值为9
C. 的最大值为D. 的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用“1”的变形，得，，展开后利用基本不等式求最值，判断AB选项；利用，变形构造基本不等式求最值，进而判断CD.
【详解】由题意知，.
A.，
当，即时，等号成立，
所以的最小值是4，故A不正确；
B. ，
当，时，等号成立，
所以的最小值为9，故B正确；
C.由于，，故，
当时等号成立，即时等号成立，
所以的最大值为，故C正确；
D.，
当且仅当时，即时，等号成立，
但，所以等号不能成立，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人．
【答案】
【解析】
分析】运用集合间关系即可得出结果.
【详解】
由题意作出Venn图，从而求解人数，
设这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人，
则可得，，解得，，
即这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人，
故答案为：.
13. 集合，若,则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分，和三种情况讨论即可.
【详解】当时，，满足；
当时，，
若，则，解得；
当时，，
若，则，解得；
综上：
故答案为：
14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】因为，，且，
所以，所以，
当且仅当，即，时取等号，
又恒成立，所以，即实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，，．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围.
（2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可.
【小问1详解】
已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集.
已知，，则，解得.
故实数的取值范围为.
小问2详解】
当时，因为，所以，解得，此时成立；
当时，，解得.
因为，，则或，解得或，故此时.
综上，若，则实数取值范围为.
16. 已知集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若，且，求m的值；
（3）求实数的值使得．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）是方程的根，代入即可求a；
（2）分和两种情况进行讨论即可；
（3）由可得，即，分，，，四种情况讨论即可．
【小问1详解】
∵，∴，解得．
【小问2详解】
．
由，
若，即，满足题设，
若，即，则或，
将代入可得（不成立，舍去），或，
综上，或．
【小问3详解】
由，且，则，即，
当时，无实数根，即，解得；
当时，有两相等实数根，，则，符合题意；
当时，有两相等实数根，，则，
此时为，则，不合题意；
当时，有两实数根0和4，
此时且，解得且，则；
故综合上述，的取值范围为或．
17. 某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为，
（1）用、表示文字宣传区域面积和；
（2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）长和宽分别为时，面积取得最大值.
【解析】
【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得.
（2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值.
【小问1详解】
依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形，
所以.
【小问2详解】
依题意，，由（1）知，
当且仅当时取等号，由，解得，
所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值.
18. （1）若，求的最大值；
（2）已知，求的最大值；
（3）设正实数，满足，求的最小值.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，直接利用基本不等式，即可求解；
（2）根据条件得，再利用基本不等式，即可求解；
（3）根据条件得，再利用基本不等式，即可求解；
【详解】（1）因为，则，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.
（2）因为，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.
（3）因为正实数，满足，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
19. 已知集合，集合B满足．
（1）判断，，，中的哪些元素属于B；
（2）证明：若，，则；
（3）证明：若，则．
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可；
（2）先证明若，，则，即可得到，从而得证；
（3）依题意可得，从而求出，再说明即可.
【小问1详解】
因为，所以；
因为，所以；
因为没有倒数，所以；
因为，所以；
综上可得，.
【小问2详解】
先证明：若，，则；
设，，为整数，
所以，
由于，都是整数，所以，
当，时，，，所以，所以；
【小问3详解】
因为，
所以，
所以，都是整数，
所以为整数，
所以，
假如，则，则应为的倍数，
设为整数，若，则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
所以，即.