2025-2026学年贵州省部分学校高二上学期10月联考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年贵州省部分学校高二上学期10月联考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,-2,-1)，b=(2,-1,-3)，则a-b=( )
A. (-1,-1,2)B. (-1,-1,-4)C. (-3,3,4)D. (1,1,-2)
2.若直线l：ax+ 3y-3=0的倾斜角为60°，则a=( )
A. -3B. -1C. 1D. 3
3.点(-1,2,5)关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (-1,-2,-5)B. (1,2,5)C. (-1,2,-5)D. (1,-2,-5)
4.点(-2,1)到直线2x-y-5=0的距离是( )
A. 2B. 103C. 2 5D. 10 33
5.已知直线l的一个方向向量为n=(1,-3,2)，且直线l经过A(2,a,-1)，B(1,2,b)两点，则a-b=( )
A. -4B. -2C. 2D. 4
6.如图，△SAB是圆锥SO的轴截面，SA= 2AB,C是半圆弧AB的中点，D是线段OB的中点，则异面直线SA与CD所成角的余弦值是( )
A. 147
B. 1020
C. 77
D. 1010
7.已知A(2m2,1)，B(m3+3m,m+1)(m≠0)两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. [12,+∞)B. [2,+∞)C. (0,12]D. (0,2]
8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AA1=2AC=2，D是线段B1C上的动点，则点D到直线AB的距离的最小值是( )
A. 2 55B. 45C. 4 65D. 2425
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：(a+1)x+2y+2=0和直线l2：x+ay-a+3=0，则下列结论正确的是( )
A. 若l1//l2，则a=1B. 若a=1，则l1//l2
C. 若l1⊥l2，则a=-13D. 若a=-13，则l1⊥l2
10.已知向量a=(1,2,-2),b=(-1,-3,2)，则下列向量中，使{a,b,c}是空间的一个基底的是( )
A. c=(2,3,4)B. c=(2,1,-6)C. c=(-1,-4,2)D. c=(-2,-5,4)
11.已知A(6,9)，B(3,3)，P是直线l：x-y-2=0上的动点，则( )
A. |PA|+|PB|的最小值为 66B. |PA|+|PB|的最小值为 65
C. |PA|-|PB|的最大值为3 5D. |PA|-|PB|的最大值为2 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，E是棱C1D1的中点，则AC⋅BE=______．
13.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP=4，AB=AD=3，AB⊥AD，∠PAB=∠PAD=60°，E是棱PC的中点，则|AE|=______．
14.已知A，B是直线l：ax+(2a+1)y-3a-1=0上的两点，且|AB|=8，P(-3,4)，则△PAB的面积的最大值为______，此时，a= ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，E，F，G，H分别是棱BC，CD，BB1，DD1的中点．
(1)求点C1，G，D1的坐标．
(2)证明：E，F，G，H四点共面．
(3)证明：AC1⊥平面EFG．
16.(本小题12分)
已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,1)，B(-3,-1)，C(1,7)．
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)已知过点A的直线l与x，y轴的正半轴分别交于M，N两点，若△OMN(O为坐标原点)的面积为92，求直线l的一般式方程．
17.(本小题12分)
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，AA1=2AB=4，∠A1AB=∠A1AD=60°，E是棱AA1的中点，点F在棱CC1上，且CF=3FC1，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用向量a，b，c表示向量AC1与EF；
(2)求向量AC1与EF夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PD上的动点．
(1)设E是棱PD的中点．
①证明：PB/​/平面ACE．
②求点E到平面PBC的距离．
(2)求平面PBC与平面ACE夹角的最小值．
19.(本小题12分)
将边长为2 2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得A到达A'的位置，连接A'C得到三棱锥A'-BCD，且E是棱A'C的中点．
(1)证明：BD⊥A'C；
(2)若二面角B-A'C-D的余弦值为-15，求三棱锥A'-BCD的体积．
(3)求直线BE与平面A'BD所成角的正弦值的最大值．
1.A
2.A
3.A
4.C
5.C
6.B
7.C
8.A
9.BCD
10.AB
11.BC
12.4
13. 582
14.20 -411
15. (1)由题意，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱BC，CD，BB1，DD1的中点，
所以C1的坐标为(4,4,4)，
G的坐标为(4,0,2)，
D1的坐标为(0,4,4)；
(2)证明：由题意，如图所示，连接GH，
则E(4,2,0)，F(2,4,0)，H(0,4,2)，
可得EF=(-2,2,0),GH=(-4,4,0)，
可得2EF=GH，
可得EF/​/GH，
可得E，F，G，H四点共面，得证；
(3)证明：由题意可得AC1=(4,4,4),EG=(0,-2,2)，
则AC1⋅EG=4×(-2)+4×2=0,AC1⋅EF=-2×4+2×4=0，
所以AC1⊥EG，AC1⊥EF，
因为EG⊂平面EFG，EF⊂平面EFG，且EG∩EF=E，
所以AC1⊥平面EFG，得证．
16.
(1)由题意可得直线BC的斜率为7+11+3=2，则BC边上的高所在直线的斜率为-12，
因为BC边上的高所在直线过点A，所以方程为y-1=-12(x-2)，即x+2y-4=0，
即BC边上的高所在直线的方程为x+2y-4=0；
(2)因为直线l与x，y轴的正半轴分别交于M，N两点，
则设直线l的方程为xa+yb=1，(a>0,b>0)，则M(a,0)，N(0,b)，
因为直线l过点A(2,1)，所以2a+1b=1，①
因为△OMN的面积为92，所以12ab=92，②
联立①②，解得a=6b=32或a=3b=3，
所以直线l的方程为x6+y32=1或x3+y3=1，
即直线l的一般式方程为x+4y-6=0或x+y-3=0．
17.
(1)连接AC，因为四边形ABCD是正方形，所以AC=AB+AD，
则AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c，
因为E是棱AA1的中点，所以EA=-12AA1，
因为CF=3FC1，所以CF=34CC1=34AA1，
则EF=EA+AC+CF=-12AA1+AB+AD+34AA1
=AB+AD+14AA1=a+b+14c．
(2)因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD，即a⋅b=0，
因为∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=2AB=4，
所以a⋅c=b⋅c=4，
则|AC1|= (a+b+c)2= a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=2 10，
|EF|= (a+b+14c)2= a2+b2+116c2+2a⋅b+12a⋅c+12b⋅c= 13，
AC1⋅EF=(a+b+c)⋅(a+b+14c)
=a2+b2+14c2+2a⋅b+54a⋅c+54b⋅c=22，
因为AC1⋅EF=|AC1||EF|cs，
所以cs=AC1⋅EF|AC1||EF|=222 10× 13=11 130130，
即向量AC1与EF夹角的余弦值是11 130130．
18.
(1)因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
又四边形ABCD是正方形，所以AB，AD，AP两两垂直，
故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
①证明：连接BD，交AC于点F，连接EF，如上图，
则B(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(1,1,0)，
所以PB=(2,0,-2),EF=(1,0,-1)，
则PB=2EF，又PB，EF不共线，
所以PB/​/EF，又EF⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
所以PB/​/平面ACE；
②由题意，得C(2,2,0)，
设平面PBC的法向量为n=(x1,y1,z1)，BC=(0,2,0),PE=(0,1,-1)，
则n⋅BC=2y1=0n⋅PB=2x1-2z1=0，令x1=1，则y1=0，z1=1，所以n=(1,0,1)，
所以点E到平面PBC的距离d=|PE⋅n||n|=1 2= 22；
(2)由题意可得D(0,2,0)，则DP=(0,-2,2)，设DE=kDP=(0,-2k,2k)，0≤k≤1，
则E(0,2-2k,2k)，所以AE=(0,2-2k,2k),AC=(2,2,0)，
设平面ACE的法向量为m=(x2,y2,z2)，
则m⋅AC=2x2+2y2=0m⋅AE=(2-2k)y2+2kz2=0，令x2=k，则y2=-k，z2=1-k，所以m=(k,-k,1-k)，
设平面PBC与平面ACE的夹角为θ，
则csθ=|cs〈n,m〉|=|n⋅m||n||m|=1 2× 3k2-2k+1，
因为3k2-2k+1=3(k-13)2+23≥23，
所以1 3k2-2k+1≤ 62，所以csθ≤ 32，
因为0