2025-2026学年黑龙江省佳木斯市富锦市九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年黑龙江省佳木斯市富锦市九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. x2+2x=0B. 2x+1=0C. x2-3y+2=0D. +x=1
2.用配方法解方程x2-6x+1=0，下列配方正确的是（ ）
A. （x+3）2=8B. （x-3）2=8C. （x+3）2=9D. （x-3）2=9
3.抛物线y=-2（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A. （1，3）B. （1，-3）C. （-1，3）D. （-1，-3）
4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 正三角形B. 平行四边形C. 矩形D. 等腰梯形
5.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A. k≥1B. k＞1C. k≤1D. k＜1
6.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（ ）
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A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°
7.已知圆的半径为5cm,点P到圆心距离为3cm,则点P与圆的位置关系是（ ）
A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 无法确定
8.抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
9.一个不透明的袋子中有红球、白球共10个，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，记录颜色后放回，重复100次，发现摸到红球60次，则估计袋中红球约有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
10.若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，且与y轴交于正半轴，则下列判断正确的是（ ）
A. a＞0，c＞0B. a＜0，c＞0C. a＜0，c＜0D. a＞0，c＜0
11.如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（ ）
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°
12.某商品原价200元，经过两次相同百分率的降价后价格为162元，设每次降价的百分率为x,则可列方程为（ ）
A. 200（1+x）2=162B. 200（1-x）2=162
C. 200（1-2x）=162D. 200（1-x2）=162
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.方程x2=4x的解是______．
14.将抛物线y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的解析式为______．
15.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AB=5，OC=2，则AC= .
16.在一个不透明的盒子中装有3个红球、4个白球和若干个黑球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则黑球有 个.
三、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
解下列方程：
（1）x2-5x+6=0（用因式分解法）；
（2）2x2+4x-1=0（用公式法）.
18.(本小题9分)
已知二次函数y=-x2+2x+3.
（1）求其图象的顶点坐标和对称轴；
（2）求该图象与x轴的交点坐标.
19.(本小题9分)
如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4），
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转180°，得到△A2B2C2.
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标.（不写解答过程，直接写出结果）
20.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，AC=8，AB=10.
（1）求BC的长；
（2）求CD的长.
21.(本小题9分)
某超市销售一种商品，每件成本为30元，经调查发现：销售单价为40元时，每月可售出200件；销售单价每上涨1元，每月少售出10件.设销售单价为x元（x≥40），每月销售量为y件.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求每月利润w与x的函数关系式；
（3）当销售单价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题6分)
已知关于x的方程x2-（2k+1）x+k2+k=0.
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足，求k的值.
23.(本小题6分)
如图，四边形ABCD是正方形，E是边AB上一点，连接DE，将直线DE绕点D逆时针旋转90°，交BC的延长线于点F.
（1）如图1，求证：DE=DF；
（2）如图2，连接EF，若D关于直线EF的对称点为H，连接CH，过点H作PH⊥CH交AB于点P，求证：E为AP中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC交EF于点G，连接BG，BH，若BG=，AB=3，求线段BH的长
24.(本小题6分)
如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-）三点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．
（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】B
13.【答案】0或4
14.【答案】y=2（x+2）2-3
15.【答案】
16.【答案】5
17.【答案】x1=2，x2=3；
，
18.【答案】此时抛物线的顶点坐标为（1，4），抛物线对称轴为：；
二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）
19.【答案】如图，△A′B′C′即为所求；
如图，△A2B2C2即为所求；
如图，点P即为所求，由图可知：点P坐标为（2，0）
20.【答案】6；

21.【答案】y=200-10（x-40）=-10x+600；
w=-10x2+900x-18000；
当售价定为45元时，月销售利润最大，最大利润是2250元
22.【答案】∵Δ=[-（2k+1）]2-4（k2+k）=4k2+4k+1-4k2-4k=1＞0，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
k=2或k=-3
23.【答案】证明：（1）∵旋转，
∴∠EDF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠A=∠DCB=90°，AD=DC
∴∠ADC=∠EDF=∠DCF=∠A=90°，
∴∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即∠ADE=∠CDF，
在△ADE与△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF；
（2）连接EH，FH，如图2

∵D、H关于EF对称，
∴EF垂直平分DH，
∴HE=DE，DF=HF，
又∵EF=EF，
∴△EDF≌△EHF，
∴∠EHF=∠EDF=90°，
又∵∠B=∠EHF=90°，
∴∠BPH=∠BCH，
∴∠EPH=∠FCH，
又∵DE=DF，
∴EH=HF，
又∵PH⊥CH，
∴∠PHC=∠EHF=90°，
∴∠PHE=∠CHF，
∴△PEH≌△CFH，
∴CF=PE，
又∵△ADE≌△CDF
∴AE=CF，
∴AE=PE，
∴E为AP中点；
（3）过点E作EK∥BF，如图3：

∵EK∥BF，
∴∠EKA=∠BCA=45°，∠EKG=∠FCG，
∴∠EAK=∠EKA=45°，
∴EA=EK=CF，
又∵∠EGK=∠CGF，
∴△EGK≌△CFG，
∴EG=GF，
∴在Rt△EBF中，EF=2BG=2，
∴设AE=CF=a 则BE=3-a,BF=3+a,
∴（3-a）2+（3+a）2=（2）2
∴a=1（a=-1舍），
∴AE=PE=1，
∴BP=1，
连接PC，
∴PC=，
∴在等腰直角△PCH中，PH=
过点H作HM⊥BC，HN⊥AB，
∴∠HMC=∠HNP=90°，
∵∠PHC=∠ABC=90°，
∴∠PHN=∠CHM，
∵（2）中△PEH≌△CFH，
∴PH=CH，
∴△PNH≌△CMH，
∴HN=HM，
∴BH平分∠NBC，
∴∠NBH=45°，
∴设BN=HN=t,
∴PN=1+t,
∴Rt△PNH中，t2+（t+1）2=（）2
解得：t=1，
∴BH=t=
24.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵A（-1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-；
（2）∵抛物线的解析式为：y=x2-2x-，
∴其对称轴为直线x=-=-=2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，-），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x-，
当x=2时，y=1-=-，
∴P（2，-）；
（3）存在．
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，-），
∴N1（4，-）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，
在△AN2D与△M2CO中，
∴△AN2D≌△M2CO（ASA），
∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．
∴x2-2x-=，
解得x=2+或x=2-，
∴N2（2+，），N3（2-，）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，-），（2+，）或（2-，）．