2026年高考数学压轴专项训练压轴题11等差等比综合归类(原卷版+解析)

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压轴题型一：等差等比“纠缠数列”
1．若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知正项等差数列和正项等比数列，，是的等差中项，是的等比中项，则下列关系肯定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．是公比不为1的等比数列的前n项和，是和的等差中项，是和的等比中项，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知， ，是 、的等差中项，正数 是、 的等比中项，那么、 、、 的从小到大的顺序关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知、 ，A是、 的等差中项，G是、 的等比中项，则（ ）
A．B．C．ab≤∣AG∣D．ab>∣AG∣
压轴题型二：等差数列“等距”性质
1．已知一组样本数据，，，，恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为（ ）
A．30B．40C．50D．60
2．设等差数列前项和为，若，则（ ）
A．12B．18C．24D．36
3．已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．0D．12
4．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．52B．96C．106D．120
5．等差数列中，已知，则的前10项和等于（ ）
A．36B．30C．20D．18
压轴题型三： 等比数列“等距”性质
1．已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（ ）
A．4050B．2025C．4052D．2026
2．等比数列中的，是函数的极值点，，则（ ）
A．1B．C．D．
3．在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．在递增等比数列中，，且，则该数列的公比为（ ）
A．B．2C．3D．6
5．已知，若等比数列满足，则（ ）
A．B．1013C．2025D．2026
压轴题型四：等差数列奇偶型
1 ．已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（ ）
A．300B．298C．296D．294
2．一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（ ）
A．30B．31C．32D．33
3．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．B．C．D．
4．已知某等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差为
A．B．C．D．
5．已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则( )
A．B．C．D．
压轴题型五：等差等比数列函数性及最值
1．已知，，成等比数列，且，，等差数列满足，，则当数列的前项和取最小值时，的值为（ ）
A．5B．7C．6或7D．5或7
2．已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
3．数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．不充分也不必要
4．已知等差数列的前项和为且，则使的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
5．已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（ ）
A．B．C．D．
轴题型六：等差数列“正负不等式”型
1．设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．使得成立的最小自然数是20
C．D．
2．已知公差为的等差数列，为其前项和，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
4．已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ）
A．B．C．D．
5．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
压轴题型七：等比数列“平衡点”不等式型
1．设数列是公比为q的等比数列，其前n项的积为，并且满足条件，，，下列结论中：①②③④使得成立的最小自然数n等于4018，其中正确结论序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①③④
2．在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数n等于4046
3．在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数n等于198
4．已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（ ）
A．①与②都是真命题；B．①为真命题，②为假命题；
C．①为假命题，②为真命题；D．①与②都是假命题．
5．已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
压轴题型八：等差“中项”比值型
1．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知别为等差数列的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．设等差数列和的前项和分别是和，若， 求（ ）
A．B．C．1D．
5．已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
压轴题型九：恒成立求参型
1．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，，，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．己知数列的前n项和记为，且，若对任意正整数n都成立，则实数t的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
压轴题型十： 插入数构造二阶等差等比型
1．已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ）
A．20B．21C．22D．23
2．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（）次得到的数列的所有项之和为，则（ ）
A．1095B．3282C．6294D．9843
3．将等比数列按顺序分成1项，2项，4项，…，项的各组，再将公差为2的等差数列的各项依次插入各组之间，得到数列：，，，，，，，，，，…，数列的前项和为．若，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（ ）
A．510B．514C．1022D．1026
5．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
总论：
1．等差数列常用结论：
若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有：
(1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak；
(2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列；
(3)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列；
(4)数列{eq \f(Sn,n)}是公差为eq \f(d,2)的等差数列，其通项公式eq \f(Sn,n)＝eq \f(d,2)n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))；
3．等差数列与函数关系：
(1) an＝dn＋(a1－d)，则数列{an}是等差数列⇔ 通项an为一次函数：即an＝kn＋b (a、b为常数)；
(2)Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
4.等比数列与函数关系：
等比数列与函数的关系
(1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1；
(2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。
2．等比数列常用结论：
若{an}为等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则有：
(1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2；
(2)隔项等差：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)分段等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.
等比数列“高斯技巧”
（1)“高斯”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2；
(2)“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.
等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，容易漏掉对的讨论.
4.等比数列与函数关系：
等比数列与函数的关系
(1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1；
(2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。
（3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型
√满分技法
等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。
1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。
2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。
√满分技法
等差数列“等距”性质
若{an}为等差数列，且m+n=p+q,则
，…仍是等差数列，公差为．
4.，…也成等差数列，公差为．

√满分技法
等比数列“等距”性质：
（1）“指数型中点”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2；
（2）“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
（3）“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.

√满分技法
设数列是等差数列，且公差为，
若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；
若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.
√满分技法
在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化：
①若，当时，则当且仅当最大；
②若，当时，则当且仅当最小；
③若最大，则.
等比数列与函数的关系
(1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1；
(2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。
（3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型
√满分技法
在等差数列中
（1）若，则满足的项数使得取得最大值；
（2）若，则满足的项数使得取得最小值．
即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．

√满分技法
等比数列“平衡点”型不等式
等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考：
1.若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2
2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap·aq>am·an.
√满分技法
插入数型
1.插入数构成等差数列
在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解
个数构成等差数列，公差记为，所以：
插入数构成等比数列
在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解
个数构成等比数列，公差记为，所以：
插入数混合型
混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。