2026年高考数学压轴专项训练压轴题17圆锥曲线压轴小题归类(原卷版+解析)

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压轴题型一：轨迹：
1．已知点A，B为椭圆上的两个动点，点O为坐标原点，直线与的斜率之积为，x轴上存在关于原点对称的两点M，N，使得对于线段上的任意点P，都有的最小值为定值，则此定值为 ．
2．曲线 是平面内到定点 的距离与到定直线 的距离之和为 的动点 的轨迹．则曲线 与 轴交点的坐标是 ；又已知点 （ 为常数），那么 的最小值 ．
3．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则 .
4．在平面直角坐标系中，，，记，其中表示两个数中的最大数．已知，向量，则点的轨迹所围成的图形面积为 ；的取值范围为 ．
5．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则的取值范围是 .
压轴题型二：离心率：定义型
1．已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线右焦点为，过点作互相垂直的直线、，与的右支交于、两点，，若与的左支交于点，且、、三点共线（是坐标原点），则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，满足，直线与轴交于点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆的左焦点为是上的动点，点，若的最大值为6，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
压轴题型三：离心率：点斜关系
1．已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，以线段为直径的圆在第一象限交于点交的左支于点，若为线段的中点，则的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．
4．过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是
A．B．C．D．
5．双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，交另一条渐近线于，且为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
压轴题型四：离心率：定比分点型
1．已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知是椭圆上两点，分别为的左、右焦点，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上的点，满足，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线交椭圆于、两点，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
压轴题型五：离心率：双余弦定理
1．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
4．已知双曲线的左､右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点，且，则的离心率为（ ）
A．2B．3C．D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
压轴题型六：离心率：内切圆
1．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，E上存在点P，使得，且的内切圆与y轴相切，则E的离心率为 .
2．设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 .
3．在平面直角坐标系中，双曲线（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与的左、右两支分别交于、两点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则的离心率为 ．
4．已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过作，垂足为，则椭圆的离心率为 ．设内切圆与轴相切于点，则的面积为 ．
5．设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过点F的直线l与双曲线的渐近线分别交于A、B两点，若且的内切圆半径为，则双曲线C的离心率为 .
压轴题型七：离心率：重心圆
1．已知斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若椭圆上存在点，使得的重心恰好是坐标原点，则椭圆的离心率 .
2．设双曲线E：，设A，B为E上不同的两点，分别作E在A，B处的切线，设与y轴交于点C，与y轴交于点D，若AD与BC交于点P，AC与BD交于点Q，为等边三角形，且Q为的重心，则E的离心率e＝ ．
3．在双曲线的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点形成的三角形的内切圆的半径为a，若的重心G满足，则双曲线C的离心率为 .
4．已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左、右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是 .
5．已知双曲线E的焦点在x轴上，中心为坐标原点，F为E的右焦点，过点F作直线与E的左右两支分别交于A，B两点，过点F作直线与E的右支交于C，D两点，若点B恰为的重心，且为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为 .
压轴题型八：离心率：共焦点型
1．如图，在平面直角坐标系，中心在原点的椭圆与双曲线交于四点，且它们具有相同的焦点，点分别在上，则椭圆与双曲线离心率之积 .
2．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ．
3．已知椭圆C1：＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，e1，e2分别是椭圆C1和双曲线C2的离心率，则9e12+e22的最小值是 ．
4．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最小值为 .
5．已知、分别是椭圆和双曲线的离心率，、是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为 ．
压轴题型九：离心率：a，b，c齐次型综合题
1．已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为 .
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，直线垂直于且交线段于点，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 .
3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为，点P为C在第一象限上一点，直线与y轴交于点M，，若直线的斜率为，则C的离心率为 ．
4．已知为椭圆上任意一点，点，分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为 .
5．已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为 .
压轴题型十：离心率：超难压轴小题
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为
A．B．C．D．
2．椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题：
①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则
②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为；
则以下说法正确的是（ ）
A．①是真命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题D．①是假命题，②是假命题
3．如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．椭圆E：，过E外一点P作E两条切线PA，PB，，记P的轨迹为T，圆C：，记T与C的交点为，当的最大值m最大时，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
压轴题型十一：压轴难题：双曲线渐近线型
1．已知的顶点，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则 .
2．已知双曲线的左、右焦点分别为和，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线的离心率为 ;又过点P作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q，且的面积，则该双曲线的方程为 ．
3．已知为双曲线（，）右支上的任意一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一、四象限，为坐标原点，当时，的面积为，则双曲线的实轴长为 .
4．已知双曲线：的一条渐近线为，椭圆：的长轴长为4，其中.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点，若四条直线的斜率之和为定值，则定点Q为 .
5．直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是 ．
压轴题型十二：压轴难题：特殊曲线型
1．如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上
C．在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为
D．过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则
2．将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得的三条曲线与围成的图形称作花瓣曲线（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）

A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截花瓣曲线第一象限部分的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于
3．蔓叶线是公元前世纪古希腊数学家狄奥克勒（Dicle）为了解决倍立方问题发现的曲线，因形似植物藤蔓而得名．按照如下方式可得到一条蔓叶线：在抛物线：上取一动点，作在该动点处的切线，过坐标原点作这条切线的垂线，垂足的轨迹就是如图所示的蔓叶线．下列结论正确的是（ ）
A．点在上B．直线是的渐近线C．点到上的点的距离最小值为
D．若过点的直线与和抛物线分别交于点，（异于点），则
4．已知曲线，为曲线上任一点，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线与直线恰有三个公共点B．曲线与直线相切
C．是关于的函数D．是关于的函数
5．平面内到定点、轴、轴的距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．当都是整数时，称为格点，则上有2个格点
C．的最大值为D．在第一象限对应的双曲线的离心率为
压轴题型十三：压轴难题：截曲线型
1．比利时数学家丹德林用一个双球模型证明用平面截圆锥面，可以截出椭圆、双曲线、抛物线.如图，两个对顶圆锥的轴线与母线成角为，在两个圆锥中，各有一个球，两球球心分别为，，两球半径分别为，且与圆锥侧面相切，两个对顶圆锥的轴与平面所成角为且平面与两球相切于，两点，则平面与圆锥侧面的交线为双曲线一部分，则下列说法中正确的是（ ）
A．，两点为双曲线的两个焦点
B．
C．若，则该双曲线为等轴双曲线
D．双曲线的实轴长为
2．如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则三棱锥体积为定值
B．若，则动点所围成的图形的面积为
C．若，则的最小值为3
D．若动点在正方形内（包含边界），异面直线与所成角为．则的轨迹所在圆锥曲线的离心率为
3．如图，圆锥的底面直径，母线，点是母线的中点．以下结论正确的是（ ）
A．沿圆锥的侧面从点到达点的最短距离为
B．圆锥的外接球表面积为
C．过点作平行于母线的平面，截圆锥所得抛物线的焦准距为3
D．过点作动直线，满足与母线成角，直线形成的图形被圆锥底面所在平面截得的图形为椭圆
4．如图是以矩形为轴截面的圆柱，其中，，，平面经过且与平面垂直，截圆柱侧面所得的曲线为椭圆．点在椭圆上（不包括），点在下底面圆周上，，的中点为，以为始边，为终边的角为，圆中角所对的弧长为，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．存在点使得
C．点到平面的距离为
D．
5．历史上，许多数学家研究过圆锥的截口曲线.如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点距离圆锥顶点长度为1，则以下关于该截口曲线描述正确的命题有（ ）
A．点与该曲线上的任意一点的距离中，最大值为
B．点为该曲线的一个焦点
C．该曲线上任意两点之间的最大距离为
D．该曲线的离心率为
综述
曲线与方程
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．
（1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线．
（2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．
（3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
求解过程：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点Px,y
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含x,y的代数式表示，
（5）检验：对某些特殊值应另外补充检验．
二、离心率
求离心率是椭圆，双曲线中的重要题型，
解题时要把所给的几何特征转化为的关系式．求离心率的常用方法有：
（1）根据条件求得，利用或求解；
（2）根据条件得到关于的方程或不等式，利用将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．
三、圆锥曲线性质与结论
1.椭圆结论：
(1)如图1：①焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、面积S△F1AF2＝b2·tan eq \f(θ,2)；
②△ABF2的周长为：C△ABF2＝4a；③通径：|AC|＝eq \f(2b2,a) (椭圆、双曲线通用)；图1
(2)如图2：点P是椭圆上一动点，则有：①动点角范围：0≤∠A1PA2≤∠A1BA2；
②焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；
③|PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近； ④斜率：kPA1·kPA2＝－eq \f(b2,a2).
(3) 点P(x0，y0)和椭圆的关系：图2
①点P在椭圆内⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)1.
(4)椭圆扁平程度：因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
2．双曲线结论：
(1)如图3：①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a；
②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b；
(2)渐近线求法结论：可直接令方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；
图3
3．抛物线结论：
如图4：抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l.
焦半径问题：
①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq \f(p,2) (随焦点位置变动而改变)；
②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (其中，α为直线AB的倾斜角)
③eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
焦半径公式得：，，
(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2 (随焦点动而变)；图4
(3)其他结论：①S△OAB＝eq \f(p2,2sinα)(其中，α为直线AB的倾斜角)；②以AB为直径的圆必与准线相切于点H．
√满分技法
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.
平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．
若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1
若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1
若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行。
√满分技法
解题时要把所给的几何特征转化为的关系式．求离心率的常用方法有：
（1）根据条件求得，利用或求解；
（2）根据条件得到关于的方程或不等式，利用将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．
√满分技法
椭圆：设直线和椭圆的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
抛物线：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
可得
√满分技法
性质：过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
√满分技法
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点三角巨头对称性，可以补成焦点四边形，对于焦点四边形，又如下思维性质：
1.焦点四边形具有中心对称性质。
2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
√满分技法
双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.
√满分技法
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．
√满分技法
只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)
两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
√满分技法
渐近线
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
（3）一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则.
（4）过双曲线上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论：
①OM·ON=a2+b2；②；③
√满分技法
利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
√满分技法
接圆锥曲线：