高考物理【一轮复习】讲义练习第十一章　第59课时　专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动

这是一份高考物理【一轮复习】讲义练习第十一章　第59课时　专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动，共14页。试卷主要包含了平行边界，圆形边界等内容，欢迎下载使用。
考点一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2.平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
3.圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。
(2)不沿径向射入时，如图乙所示。
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
例1 (多选)如图所示，MN上方存在匀强磁场，同种粒子a、b从O点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界MN的夹角分别为30°和60°，且均由P点射出磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则a、b两粒子( )
A.运动半径之比为3∶1
B.初速率之比为1∶3
C.运动时间之比为5∶2
D.运动时间之比为6∶5
答案 AC
解析 设OP＝2d，则由几何关系可知ra＝dsin30°＝2d，rb＝dsin60°＝2d3，可知a、b的运动半径之比为3∶1，选项A正确；根据qvB＝mv2r，可得v＝qBrm∝r，初速率之比为3∶1，选项B错误；根据T＝2πmqB，t＝θ2πT∝θ，a、b两粒子转过的角度之比为300°∶120°＝5∶2，则运动时间之比为5∶2，选项C正确，D错误。
例2 (多选)如图所示，在直角坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为－q(q>0)的带电粒子，从原点O射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场。忽略粒子重力，关于该粒子在磁场中的运动情况，下列说法正确的是( )
A.它的轨道半径为23d
B.它进入磁场时的速度为2qBd3m
C.它在磁场中运动的时间为2πm3qB
D.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为3d
答案 AB
解析 粒子运动轨迹如图所示，
r＋rsin 30°＝d，可得粒子运动轨道半径为r＝23d，故A正确；由qvB＝mv2r，r＝23d，可得粒子进入磁场时的速度为v＝qBrm＝2qBd3m，故B正确；T＝2πrv＝2πmqB，由几何关系知t＝23T，可得粒子在磁场中运动的时间为t＝4πm3qB，故C错误；粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y＝－2rcs 30°＝－233d，故D错误。
拓展 若仅将电荷量变为＋q(q>0)，粒子仍恰好不从右边界射出，其余条件不变，则它的轨道半径为 ；它进入磁场时的速度为 ；它在磁场中运动的时间为 ；它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为 。
答案 2d 2qBdm 2πm3qB 23d
解析 粒子运动轨迹如图所示，r－rsin 30°＝d，可得粒子运动轨道半径为r＝2d；由qvB＝mv2r，r＝2d，可得粒子进入磁场时的速度为v＝2qBdm；T＝2πrv＝2πmqB，由几何关系知t＝13T，可得粒子在磁场中运动的时间为t＝2πm3qB；粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y＝2rcs 30°＝23d。
例3 如图所示，直角三角形MNP区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源可沿平行PN方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用，不计正、负电子的重力。下列说法正确的是( )
A.可能有正电子从M点射出磁场
B.负电子从D点离开磁场时的速度大小为eBL2m
C.从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为2πm3eB
D.正电子在磁场中运动的最长时间为πm3eB
答案 C
解析 正电子恰好从MN边界射出的轨迹如图所示，
根据正电子的运动的轨迹可知，其不可能从M点射出磁场，选项A错误；负电子从D点离开磁场的轨迹如图，负电子从D点离开磁场时，由几何关系知(L2)2＋(3L2－r)2＝r2，解得r＝33L，则负电子的速度大小为v＝Berm＝eBL3m，选项B错误；当从MN边射出的正电子运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长，由几何关系可知圆心角为120°，则最长时间tm＝120°360°×2πmeB＝2πm3eB，选项C正确；正电子从C、M之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为tm'＝T2＝πmeB，选项D错误。
例4 (多选)(2023·全国甲卷·20)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是( )
A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
答案 BD
解析 假设粒子带负电，第一次从A点和筒壁发生碰撞如图甲所示，
O1为圆周运动的圆心，由题可知粒子沿半径方向射入圆形磁场，出射时也沿半径方向，即粒子此时的速度方向为OA，说明粒子在和筒壁碰撞时速度会反向，由圆的对称性得粒子在其他点撞击同理，D正确； 假设粒子运动过程过O点，粒子从P点进入磁场中速度发生偏转，则过P点的速度的垂线和OP连线的中垂线是平行的，不能交于一点确定圆心；
撞击筒壁A点的速度垂线和AO连线的中垂线依旧平行不能确定圆心，则粒子不可能过O点，A错误；由题意可知粒子射入磁场以后的每次偏转轨迹圆心连线组成的多边形应为以筒壁为内接圆的多边形，这个多边形最少应为三角形，如图乙所示，
即撞击两次，B正确；速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数可能增多，故粒子运动时间不一定减少， C错误。
考点二 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
例5 (多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直于OQ方向向上射出一束负离子，离子所受的重力及离子间的相互作用忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直于纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为qm，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的取值范围和方向可能是( )
A.B>mv3qs，垂直于纸面向里
B.B>mvqs，垂直于纸面向里
C.B>mvqs，垂直于纸面向外
D.B>3mvqs，垂直于纸面向外
答案 BD
解析 当磁场方向垂直于纸面向里时，离子运动的临界轨迹是恰好与OP相切，如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系得sin 30°＝r1s＋r1，解得r1＝s，由r1＝mvB1q，可得B1＝mvqs，此种磁场方向要求B>mvqs；当磁场方向垂直于纸面向外时，离子运动的临界轨迹是恰好与OP相切，如图乙所示，切点为N，设轨迹半径为r2，由几何关系得s＝r2sin30°＋r2，解得r2＝s3，由r2＝mvqB2可得B2＝3mvqs，此种磁场方向要求B>3mvqs，B、D正确，A、C错误。
例6 (多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( )
A.13kBL，0°B.12kBL，0°
C.kBL，60°D.2kBL，60°
答案 BC
解析 若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲所示，
根据几何关系则有R＝L，由qvB＝mv2R，可得v＝qBLm＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，
因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，
则根据对称性有R＝12L，
根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝mv2R，可得v＝qBL2m＝12kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v＝qBL(2n-1)m＝12n-1kBL(n＝1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v＝qBL2nm＝12nkBL(n＝1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故B、C正确，A、D错误。
处理多解问题的解题技巧
1.分析题目特点，确定题目多解形成的原因。
2.作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能)。
3.若为周期性的多解问题，注意寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
课时精练
(分值：60分)
1~6题每小题4分，共24分
1.(多选)如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v的电子从Q点射出边界。已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，则( )
A.该匀强磁场的方向垂直纸面向里
B.所有电子在磁场中的轨迹半径相等
C.速率越大的电子在磁场中运动时间越长
D.在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ
答案 AD
解析 由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A正确；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝mv2r，整理得r＝mvqB，电子的轨迹半径与速度大小有关，速率不同，半径不同，B错误；由周期公式T＝2πrv＝2πmqB可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ，即轨迹圆心角为2θ，电子在磁场中的运动时间t＝2θ2πT，故不同速率的电子在磁场中的运动时间都相同，C错误，D正确。
2.如图所示，有界匀强磁场的宽度为d，一带电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏转角为30°，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是( )
A.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为3d
B.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为v02d
C.带电粒子在匀强磁场中运动的时间为πd2v0
D.匀强磁场的磁感应强度大小为mv0dq
答案 B
解析 由几何关系可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为r＝dsin30°＝2d，选项A错误；带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为ω＝v0r＝v02d，选项B正确；带电粒子在匀强磁场中运动的时间为t＝30°360°×2πrv0＝πd3v0，选项C错误；根据qv0B＝mv02r，解得匀强磁场的磁感应强度大小为B＝mv02dq，选项D错误。
3.(2024·山东临沂市检测)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k，不考虑电子间的相互作用及重力。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.14kBl，54kBlB.14kBl，54kBl
C.12kBl，54kBlD.12kBl，54kBl
答案 B
解析 电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra＝l4，由洛伦兹力提供向心力，有evaB＝mva2ra，又em＝k，解得va＝kBl4；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有rd2＝l2＋(rd－l2)2，解得：rd＝5l4，由洛伦兹力提供向心力，有evdB＝mvd2rd，又em＝k，解得vd＝5kBl4，选项B正确。
4.如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。质量为m、电荷量为q的带正电粒子由M点沿与过该点的直径成30°角的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。不计粒子重力，则( )
A.粒子的运动速度大小为2qBR3m
B.粒子在磁场中运动的时间为πm3qB
C.若仅改变粒子的入射方向，粒子离开磁场时的速度方向不变
D.若仅增大粒子的入射速度，则粒子在磁场中的运动时间变长
答案 C
解析 根据题意作出粒子运动轨迹图，
根据几何关系可知半径为r＝R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2r，解得v＝qBRm，故A错误；根据几何关系可知圆心角为120°，则运动时间为t＝120°360°T＝2πm3qB，故B错误；只改变粒子的速度方向，不改变粒子的速度大小，则粒子轨迹圆的半径保持不变；则粒子轨迹圆的圆心、磁场区域圆的圆心、两个圆的交点构成菱形，故粒子出磁场时速度方向不变，故C正确；若增大粒子的运动速度，则半径增大，轨迹如图，
根据几何关系可知圆心角减小，则粒子在磁场中的运动时间变小，故D错误。
5.如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当入射速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb；当入射速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力，则( )
A.vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
B.vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2
C.vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1
D.vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
答案 A
解析 设正六边形的边长为L，一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当入射速度大小为vb时，从b点离开磁场，由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径rb＝L，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对应的圆心角为120°，由洛伦兹力提供向心力有Bqvb＝mvb2L，得vb＝qBLm，tb＝13·2πmqB；当入射速度大小为vc时，从c点离开磁场，由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对应的圆心角为2θ＝60°，粒子在磁场中做圆周运动的半径rc＝L＋12Lsinθ＝2L，同理有vc＝2qBLm，tc＝16·2πmqB，解得vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1，A正确。
6.(多选)半径为R的半圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场。不计重力的a、b两粒子从圆周上的P点沿着半径方向射入磁场，分别从A、B两点离开磁场，运动轨迹如图所示。已知a、b两粒子进入磁场时的速率之比为1∶2，AOB为直径，∠AOP＝60°。忽略粒子间相互作用。下列说法正确的是( )
A.a粒子带正电，b粒子带负电
B.a、b两粒子的比荷之比为3∶2
C.a、b两粒子在磁场中运动时间之比为2∶1
D.a、b两粒子的轨道半径之比为1∶3
答案 BD
解析 根据粒子的运动轨迹，由左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，A错误；由几何关系可知，a、b两粒子的半径之比为r1∶r2＝1∶3，D正确；由r＝mvqB可知，a、b两粒子的比荷之比为3∶2，B正确；粒子在磁场中运动时间t＝lv＝θrv，θ为轨迹所对应的圆心角，代入数据可知，a、b两粒子在磁场中运动时间之比为4∶3，C错误。
7题6分，8题14分，9题16分，共36分
7.如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷qm＝1k，忽略质子重力和质子间的相互作用，则质子的速度不可能为( )
A.BLkB.BL2kC.2BL3kD.BL8k
答案 C
解析 质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，根据几何关系可知，质子运动半径为r＝Ln(n＝1，2，3，…)，质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝mv2r，联立解得v＝qBrm＝BLnk(n＝1，2，3，…)，可知质子的速度不可能为2BL3k，故选C。
8.(16分)如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°。
(1)(8分)求粒子的比荷qm及粒子在磁场中的运动时间t；
(2)(6分)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？
答案 (1)3v3BR 3πR3v (2)33R
解析 (1)粒子的轨迹半径r＝Rtan30°①
粒子所受洛伦兹力提供向心力，有qvB＝mv2r②
由①②两式得粒子的比荷qm＝3v3BR③
粒子的运动周期T＝2πrv④
粒子在磁场中的运动时间t＝16T⑤
由①④⑤式得t＝3πR3v。⑥
(2)由几何关系可知，当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大。
由图可知sin θ＝Rr⑦
平移距离d＝Rsin θ⑧
由①⑦⑧式得d＝33R。
9.(16分)如图所示，在平面直角坐标系xOy内，有一个质量不计、带正电的粒子从y轴上的P点以沿x轴正向的速度进入匀强磁场(磁场区域未画出，P点在磁场的边界上)。已知粒子的比荷qm＝108 C/kg，速度大小v0＝106 m/s，P点的坐标为(0，1 m)。
(1)(4分)若磁场方向垂直于纸面向外，且为半径R＝1 m的圆形区域，其圆心位于(1 m，1 m)处，粒子恰能够垂直于x轴离开圆形磁场区域，求磁感应强度B的大小；
(2)(5分)若磁场方向垂直于纸面向外，且充满第一象限，粒子经过Q(3 m，0)点离开第一象限，求粒子在磁场中运动的时间t；
(3)(7分)若磁场为一矩形区域，粒子沿与y轴平行的方向向上离开磁场区域，已知磁场区域面积的最小值为S＝22m2，求粒子做圆周运动的半径(结果可用根号表示)。
答案 (1)0.01 T (2)2π3×10－6 s (3)22-2 m或22＋4 m
解析 (1)根据几何关系可知，轨迹圆半径R＝1 m，根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝mv02R，解得B＝0.01 T。
(2)作出粒子的运动轨迹，如图所示，
根据几何关系有r2＝x2＋(r－L)2，sin θ＝xr，根据圆周运动的规律，时间t＝θrv0，解得t＝2π3×10－6 s。
(3)由于磁场方向未知，因此要分两种情况讨论，如图甲、乙所示，假设甲图的轨迹圆半径为R1，乙图轨迹圆半径为R2。
甲图中，最小矩形磁场区域面积S＝2R1·R1＋2R1·22R1＝(2＋2)R12，乙图中，最小矩形磁场区域面积S＝(R2－22R2)·2R2＝(2－1)R22，分别解得R1＝22-2 m，R2＝22＋4 m。
多解分类
多解原因
示意图
带电粒子电性不确定
带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同
磁场方向不确定
题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况
临界状态不唯一或速度大小不确定
带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出
运动的往复性
带电粒子在空间运动时，往往具有往复性