高考物理一轮复习课时练习 第5章第1练　万有引力定律及应用（含详解）

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1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
2．(2024·山东青岛市调研)编号为2020FD2的小行星是中国科学院紫金山天文台发现的一颗近地小行星。科学家们观测到它的轨道如图所示，轨道的半长轴大于地球轨道半径，小于木星轨道半径，近日点在水星轨道内，远日点在木星轨道外。已知木星绕太阳公转的周期为11.86年，关于该小行星，下列说法正确的是( )
A．在近日点加速度比远日点小
B．在近日点运行速度比远日点小
C．公转周期一定小于11.86年
D．在近日点的机械能比远日点小
3．位于贵州的“中国天眼”(FAST)可以测量地球与木星之间的距离。当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍。若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为( )
A． SKIPIF 1 < 0 年 B． SKIPIF 1 < 0 年
C． SKIPIF 1 < 0 年 D． SKIPIF 1 < 0 年
4．(2023·陕西商洛市山阳中学一模)过去几千年中，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51Pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51Pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq \f(1,20)，已知太阳的质量约为2×
1030 kg，则该中心恒星的质量约为( )
A．2×1030 kg B．1×1029 kg
C．4×1028 kg D．2×1028 kg
5.(2021·山东卷·5)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1
6．2022年8月10日，我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉林一号”组网星中的16颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨道，发射任务取得圆满成功。这16颗卫星的轨道平面各异，高度不同，通过测量发现，它们的轨道半径的三次方与运动周期的二次方成正比，且比例系数为p。已知引力常量为G，由此可知地球的质量为( )
A.eq \f(2πp,G) B.eq \f(4πp,G) C.eq \f(4π2p,G) D.eq \f(2π2p,G)
7．(多选)(2023·安徽滁州市期末)已知火星半径是地球半径的eq \f(1,2)，质量是地球质量的eq \f(1,9)，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是g，若某人在地球表面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下列说法正确的是( )
A．该人以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是eq \f(9h,4)
B．火星表面的重力加速度是eq \f(4,9)g
C．火星的平均密度是地球平均密度的eq \f(8,9)
D．该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的eq \f(2,9)
8．(2023·浙江温州市模拟)一卫星绕某一行星做匀速圆周运动，其高度恰好与行星半径相等，线速度大小为v。而该行星的环绕周期(即沿行星表面附近飞行的卫星运行的周期)为T。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A.eq \f(v3T,2πG) B.eq \f(\r(2)v3T,2πG)
C.eq \f(v3T,πG) D.eq \f(\r(2)v3T,πG)
9.(2023·四川省成都七中模拟)如图所示，A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O为地心，在两卫星运行过程中，AB连线和OA连线的夹角最大为θ，则A、B两卫星( )
A．做圆周运动的周期之比为2eq \r(\f(1,sin3 θ))
B．做圆周运动的周期之比为eq \f(1,sin3 θ)
C．与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为eq \r(\f(1,sin θ))
D．与地心O连线在相等时间内扫过的面积之比为eq \f(1,sin θ)
10.(2023·陕西商洛市一模)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0。
(1)若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值eq \f(F1,F0)的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；
(2)若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值eq \f(F2,F0)的表达式。
11．(2023·辽宁大连市一模)若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙号”所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)( )
A.eq \f(R－d,R＋h) B.eq \f(R－d2,R＋h2)
C.eq \f(R－dR＋h2,R3) D.eq \f(R－dR＋h,R2)
第1练 万有引力定律及应用
1．C [由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常量，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。]
2．C [根据Geq \f(Mm,r2)＝ma可知，该小行星在近日点加速度比远日点大，故A错误；根据开普勒第二定律，该小行星在近日点运行速度比远日点大，故B错误；该小行星轨道的半长轴大于地球轨道半径，小于木星轨道半径，已知木星绕太阳公转的周期为11.86年，根据开普勒第三定律可知，该小行星的公转周期一定小于11.86年，故C正确；在同一轨道上，只有万有引力做功，机械能守恒，该小行星在近日点的机械能等于远日点的机械能，故D错误。]
3．A [设地球与太阳距离为r，根据题述可知木星与太阳的距离
R＝eq \r(r2＋kr2)＝ SKIPIF 1 < 0
设木星的公转周期为T，根据开普勒第三定律，则有eq \f(T2,T地2)＝ SKIPIF 1 < 0 ，T地＝1年，解得T＝ SKIPIF 1 < 0 年，选项A正确，B、C、D错误。]
4．A [根据万有引力提供向心力可得Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2)，故该中心恒星与太阳的质量之比为eq \f(M1,M2)＝eq \f(r13,r23)·eq \f(T22,T12)＝eq \f(1,203)·eq \f(3652,42)≈1，所以该中心恒星的质量M1≈M2＝2×1030 kg，故选A。]
5．B [悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝Geq \f(mM,R2)，
可得eq \f(F祝融,F玉兔)＝Geq \f(M火m祝融,R火2)∶
Geq \f(M月m玉兔,R月2)＝eq \f(9,22)×2＝eq \f(9,2)，故选B。]
6．C [卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2，又由题可知r3＝pT2，联立解得M＝eq \f(4π2p,G)，C项正确。]
7．ABC [根据万有引力定律得F＝Geq \f(Mm,R2)，知eq \f(F火,F地)＝eq \f(M火R地2,M地R火2)＝eq \f(1,9)×22＝eq \f(4,9)，该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的eq \f(4,9)，故D错误；根据Geq \f(Mm,R2)＝mg，可得eq \f(g火,g地)＝eq \f(M火R地2,M地R火2)＝eq \f(1,9)×22＝eq \f(4,9)，则火星表面的重力加速度为eq \f(4,9)g，故B正确；根据ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)∝eq \f(M,R3)，可得eq \f(ρ火,ρ地)＝eq \f(M火R地3,M地R火3)＝eq \f(1,9)×23＝eq \f(8,9)，故C正确；因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的eq \f(4,9)，根据h＝eq \f(v02,2g)知该人以相同的初速度在火星上跳起的最大高度是在地球上跳起的最大高度的eq \f(9,4)，为eq \f(9,4)h，故A正确。]
8．D [设该行星的半径为R，质量为M，卫星的质量为m，根据题意，由万有引力充当向心力有Geq \f(Mm,2R2)＝meq \f(v2,2R)，对沿该行星表面附近飞行的卫星，则有Geq \f(Mm′,R2)＝m′eq \f(4π2,T2)R，解得M＝eq \f(\r(2)v3T,πG)，故选D。]
9．C [夹角最大时，OB与AB垂直，根据几何关系有rB＝rAsin θ，由开普勒第三定律可得eq \f(TA2,TB2)＝eq \f(rA3,rB3)，则eq \f(TA,TB)＝eq \r(\f(1,sin3 θ))，A、B错误；t时间内，卫星与地心连线扫过的面积S＝eq \f(t,T)·πr2，则eq \f(SA,SB)＝eq \f(TB,TA)·eq \f(rA2,rB2)＝eq \r(\f(1,sin θ))，C正确，D错误。]
10．(1)eq \f(F1,F0)＝eq \f(R2,R＋h2) 0.98
(2)eq \f(F2,F0)＝1－eq \f(4π2R3,GMT2)
解析 (1)在北极地面称量时，物体受到的重力等于地球的引力，则Geq \f(Mm,R2)＝F0，在北极上空高出地面h处称量时，有Geq \f(Mm,R＋h2)＝F1，
则eq \f(F1,F0)＝eq \f(R2,R＋h2)。
当h＝1.0%R时eq \f(F1,F0)≈0.98。
(2)在赤道地面称量时，考虑地球的自转，地球的引力提供重力(大小等于弹簧测力计示数)与物体随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧测力计的作用力，
有Geq \f(Mm,R2)－F2＝mR(eq \f(2π,T))2
得eq \f(F2,F0)＝1－eq \f(mR\f(4π2,T2),G\f(Mm,R2))＝1－eq \f(4π2R3,GMT2)。
11．C [设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小似近相等，有g＝Geq \f(M,R2)。由于地球的质量为M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝eq \f(GM,R2)＝eq \f(G·ρ·\f(4,3)πR3,R2)＝eq \f(4,3)πGρR。质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”所在处的重力加速度g′＝eq \f(4,3)πGρ(R－d)，所以有eq \f(g′,g)＝eq \f(R－d,R)；根据Geq \f(Mm,R＋h2)＝mg″，“天宫一号”所在处的重力加速度为g″＝eq \f(GM,R＋h2)，所以eq \f(g″,g)＝eq \f(R2,R＋h2)，eq \f(g′,g″)＝eq \f(R－dR＋h2,R3)，故C正确，A、B、D错误。]