2026届高三数学一轮复习课件第25讲平面向量的概念与线性运算

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2． (人A必二P10练习T4改)(多选)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在CD上，则下列各式正确的是(　 　)
3．(人A必二P10练习T2)当向量a，b满足______________时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．
　　　　当a，b反向且|a|≥|b|时，|a＋b|＝|a|－|b|；当a，b反向且|a|≤|b|时，|a＋b|＝|b|－|a|，所以当a，b反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．
5．(人A必二P16T3改)已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－2e2，b＝ke1＋6e2，且a∥b，则实数k＝_________．
3．共线向量定理向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb(b≠0)．向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得__________．4．常用结论
(3) 向量三角不等式①||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当a，b反向时，左边取等号；当且仅当a，b同向时，右边取等号)．②||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(当且仅当a，b同向时，左边取等号；当且仅当a，b反向时，右边取等号)．
　　　 (多选)下列说法错误的是(　 　)A．单位向量都相等B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等、方向相反的向量共线D．方向相反的非零向量可能相等
向量有关概念的关键点：(1) 向量定义的关键是方向与长度；(2) 非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制；(3) 相等向量的关键是方向相同且长度相等；(4) 单位向量的关键是长度都是一个单位长度；(5) 零向量的关键是长度是零，规定零向量与任意向量共线．
变式1　(多选)下列说法正确的是(　　　)A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0D．若a＝b，b＝c，则a＝c
　　　　　(2) 已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a|－|b|，则(　　)A．|a＋b|＞|b|B．|a－b|＜|a|C．|a＋b|＞|a－b|D．(a＋b)·(a－b)≥0
　　　　由|a＋b|＝|a|－|b|得|a＋b|2＝(|a|－|b|)2⇒a·b＝－|a||b|，因此可知a，b方向相反，且|a|≥|b|．对于A，|a＋b|＝|a|－|b|，由于|a|－|b|与|b|的关系不确定，故A错误；对于B，由于|a－b|＝|a|＋|b|＞|a|，故B错误；对于C，|a＋b|＝|a|－|b|，|a－b|＝|a|＋|b|，所以|a＋b|＜|a－b|，故C错误；对于D，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2≥0，故D正确．
(1) 根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解；(2) 平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可考虑利用向量知识来求解．
变式2－1　(人A必二P23T10(1)改)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为_____，最小值为_____．
　　　　|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8．又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2．
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过相等向量或共线向量等条件列出关于参数的方程(组)求得相关参数的值．
(1) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2) 向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0成立．若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．
A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线
1．下列说法正确的是(　　)
4．(2024·马鞍山三模)已知平面向量e1，e2不共线，a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2，且a∥b，则k＝(　　)
二、多项选择题5．(2024·邯郸一调)设a，b是两个非零向量，且|a＋b|＜|a|＋|b|，则下列结论正确的是(　 　)A．|a－b|≤|a|＋|b|B．|a－b|＜|a＋b|C．a，b的夹角为钝角D．若存在实数λ使得a＝λb成立，则λ为负数
　　　　由|a＋b|＜|a|＋|b|知a，b反向共线或不共线．对于A，当a，b不共线时，根据向量减法的三角形法则知|a－b|＜|a|＋|b|．当a，b反向共线时，|a－b|＝|a|＋|b|，故|a－b|≤|a|＋|b|，故A正确；对于B，若a⊥b，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，且|a＋b|和|a－b|是这个矩形的两条对角线长，则|a＋b|＝|a－b|，故B错误；对于C，当a，b反向共线时，a，b的夹角为π，故C错误；对于D，若存在实数λ，使得a＝λb成立，又|a＋b|＜|a|＋|b|，则a，b反向共线，所以λ为负数，故D正确．
三、填空题8．设向量a，b不平行，λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝______．
B组　滚动小练13．(2024·常州期中)某学生社团举办数学史知识竞赛，经海选，甲、乙、丙、丁四位同学参加最后一轮的现场决赛，角逐唯一的冠军．有四位观赛同学对冠军的预测分别如下：“甲或乙是冠军”“甲是冠军”“丁是冠军”“乙、丙两人都不是冠军”．若赛后发现，这四位同学中有且只有两位预测正确，则冠军是(　　)A．甲　　　　　　B．乙　　　　　　C．丙　　　　　　D．丁
　　　　若甲是冠军，则“甲或乙是冠军”“甲是冠军”“乙、丙两人都不是冠军”预测正确，故A错误；若乙是冠军，则只有“甲或乙是冠军”预测正确，故B错误；若丙是冠军，则没人预测正确，故C错误；若丁是冠军，则“丁是冠军”“乙、丙两人都不是冠军”预测正确，故D正确．