2026届高三数学一轮复习课件第39讲空间直角坐标系与空间向量

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第39讲空间直角坐标系与空间向量，共69页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，－10116，a＝λb，p＝xa＋yb，p＝xa＋yb＋zc，一个基底，研题型·能力养成，答案B，答案AB，配套精练等内容，欢迎下载使用。
1．(人A选必一P22练习T3改)已知点M在z轴上，且点M到点A(1,0,2)与到点B(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标是(　　)A．(0,0,3)B．(0,0,2)C．(0,0，－2)D．(0,0，－3)
3．已知直线l的一个方向向量为m＝(x，2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1，2)，若l∥α，则x等于(　　)A．－6B．6C．－4D．4
　　　　由题知m·n＝3x－2－10＝0，可得x＝4．
4．(人A选必一P21练习T1改编)已知a＝(－3，2,5)，b＝(1,5，－1)，则3a－b＝_____________，a·b＝_____．
　　　　因为a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，所以3a－b＝(－9,6,15)－(1,5，－1)＝(－10,1,16)，a·b＝－3＋10－5＝2．
1． 空间向量中的有关定理(1) 共线向量定理空间中两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得_________．(2) 共面向量定理共面向量定理的向量表达式：______________，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．(3) 空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得__________________，{a，b，c}叫做空间中的____________．
2．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
3．空间位置关系的向量表示
4． 证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
空间向量的线性运算及共线、共面定理
应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
空间向量数量积的运算及应用
　　　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．(1) 求AC1的长；
　　　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．(2) 求证：AC1⊥BD；
　　　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．(3) 求BD1与AC夹角的余弦值．
空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
变式2　(人A选必一P14练习T2)如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则BC′与CA′所成角的余弦值为_____．
利用空间向量证明平行与垂直问题
　　　如图，在直三棱柱ADE－BCF中，侧面ABFE和侧面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．(1) 求证：OM∥平面BCF；
　　　如图，在直三棱柱ADE－BCF中，侧面ABFE和侧面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．(2) 求证：平面MDF⊥平面EFCD．
(1) 利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素)．(2) 向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
变式3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1) 求证：B1E⊥AD1．
变式3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(2) 在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．
A．EF⊥BDB．EC1∥平面ABFC．EF⊥平面B1CD1D．直线EF与直线BD1异面
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成角为30°．(1) 求证：CM∥平面PAD；
　由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为PC⊥平面ABCD，所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°．
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成角为30°．(2) 求证：平面PAB⊥平面PAD．
一、单项选择题1．已知向量a＝(－2,1,3)，b＝(－1,3,2)，c＝(1，t，－1)共面，则实数t的值是(　　)A．1B．－1C．2D．－2
　　　　因为a，b，c共面，所以存在x，y∈R，使得c＝xa＋yb，整理得(1，t，－1)＝(－2x－y，x＋3y,3x＋2y)，解得x＝－1，y＝1，t＝2．
2．(2024·苏中苏北七市二调)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关系正确的是(　　)A．AD⊥B1CB．A1D⊥BDC．AC1⊥A1C　D．AC1⊥CD1
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，设BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为(　　)
二、多项选择题5．(2024·镇江期初)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠A1AB＝∠A1AD，A1C1∩B1D1＝O1，则下列说法正确的(　　　)A．四边形B1BDD1为矩形
三、填空题8．已知正四面体A－BCD的棱长为2，若M，N分别是AB，CD的中点，则线段MN的长为______．
四、解答题11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接CD1，EM，MN，EN，NF，EF．(1) 求证：D1C∥平面EMN；
　　　　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝2a，DC＝2b，DD1＝2c，如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2a，0,0)，C(0,2b,0)，B(2a,2b,0)，D1(0,0,2c)，A1(2a,0,2c)，C1(0,2b,2c)，B1(2a，2b,2c)，则M(2a，b,0)，N(a,2b,0)，E(2a,0，c)，F(0，b,2c)．
四、解答题11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别为棱AB，BC，AA1，D1C1的中点，连接CD1，EM，MN，EN，NF，EF．(2) 求证：E，F，N，M四点共面．