2026届高三数学一轮复习课件第40讲第1课时空间角的计算

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1．(人A选必一P38练习T1)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(　　)
3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且A1C⊥平面AEF，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则平面AEF和平面D1B1BD夹角的余弦值为(　　)
4．(人A选必一P35练习T2(1)改)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，已知AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　)
1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两条异面直线l1，l2的方向向量．
3．平面与平面的夹角的求法如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
4．点P到直线l的距离
第1课时　空间角的计算
(1) 求证：BF∥平面CDE；
　　　　因为AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，AF∥DE，所以AF∥平面CDE．因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，AB∥CD，所以AB∥平面CDE．又因为AF⊂平面ABF，AB⊂平面ABF，AF∩AB＝A，所以平面ABF∥平面CDE．又因为BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE．
(2) 求证：EF⊥平面CDF；
(3) 若点H在线段DE上，且EH＝1，求异面直线AH与BE所成角的余弦值．
向量法求异面直线所成角的步骤(1) 选好基底或建立空间直角坐标系；(2) 求出两直线的方向向量v1，v2；
(2) 求证：平面PBC⊥平面ABCD；
(3) 求CM与平面PAD所成角的正弦值．
　　　　因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥CD．又侧面CDD1C1⊥底面ABCD，侧面CDD1C1∩底面ABCD＝CD，且BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CDD1C1．又因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面CDD1C1．
　　　　因为四边形AA1C1C是等腰梯形，A1C1∥AC，所以延长AA1，CC1必相交于一点，设AA1∩CC1＝P．因为P∈AA1，AA1⊂平面AA1B1B，所以P∈平面AA1B1B，同理可得P∈平面BB1C1C．又因为平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，所以P∈BB1，即AA1，BB1，CC1交于一点P．
可通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．如果题干是夹角，则一定是锐角或直角．
　　　　因为BC∥AD，BC＝2，AD＝4，M为AD的中点，所以BC∥MD，BC＝MD，所以四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD．又因为BM⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以BM∥平面CDE．
一、单项选择题1．在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为(　　)
2．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
3．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和A1D1的中点，则直线AC与平面ABEF所成角的正弦值为(　　)
4．如图，底面ABCD是边长为2的正方形，半圆面APD⊥底面ABCD，点P为圆弧AD上的动点．当三棱锥P－BCD的体积最大时，二面角P－BC－D的余弦值为(　　)
二、多项选择题5．如图，E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中棱CD上的两点，且AB＝2，EF＝1，则下列说法中不正确的有(　　　)A．异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45°B．异面直线B1D1与EF所成的角的大小为30°C．直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为45°D．直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为60°
8．在正四棱锥S－ABCD中，已知O为顶点在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为________．
　　　　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE．因为E为AC的中点，且AB＝BC，所以BE⊥AC．又因为CC1⊂平面ACC1，AC⊂平面ACC1，AC∩CC1＝C，所以BE⊥平面ACC1．因为AC1⊂平面ACC1，所以BE⊥AC1．
(1) 若BF＝2PF，求证：CF∥平面PDE；
图(1) 　　　　　　　　　　　图(2)