2025北京陈经纶中学初二上学期期中数学试卷和答案

这是一份2025北京陈经纶中学初二上学期期中数学试卷和答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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一、选择题(每题 2 分，共 16 分.下面 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一个．)
下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A．2，2，5B．3，4，7C．3，6，8D．3，5，9 2.下列运算正确的是（）
a2  a5  a10
a6  a3  a3
(a3)2  a5
(2a2 )2  4a4
3.与如图所示的正方形图案全等的图案是（）
B．C．D.
4.如图，点 D 在线段 BC 的延长线上，已知ACD  130 ，B  20 ，则A 的度数是（）
A．110B． 30C．150D． 90 5.下列各式中，能用平方差公式计算的是（）
(x  2)(x  2)
( x  y)( x  y)
(x  y)(x  y)
( x  y)(x  y)
第 7 题图
下列各式添括号，正确的是（） A．a+b－c=a+(b+c) C．a－b+2m=a－(－b+2m)
第 4 题图
B．－3x+6y－3=－3(x+2y+1)
D．10－2x+y2=(10－2x)+y2
第 8 题图
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，∠BAC=90°，AB=AC，若 OA=2，OB=4，则点 C 的坐标为（）
A．6, 2
B．6, 2
C．4, 2
D．4, 2
如图，正方形 ABCD 是由四个全等的直角三角形和小正方形 EFGH 拼成，连接 AC，EC，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（）
A．AB 的长B．AE 的长C．EF 的长D．CE 的长二、填空题（每题 3 分，共 24 分）
在△ABC 中，∠A=48°，∠B=30°，则∠C=°．
一个等腰三角形的两边长分别是 4 和 9，则周长是 ．
计算：(－28x4y2)÷(7x4y)＝．
如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠C＝105°，则∠EAD＝°．
13.已知2+ = 32，则 7－2m－2n=.
如图为某年某月的日历(数字隐去)，其中 A，B，C，D 代表当日的数字，设 A 代表的数字为 m，则 B ·D－A·C 的结果为.(用含 m 的代数式表示)
第 12 题图第 14 题图第 15 题图
如图，已知 AD 是△ABC 中 BC 边上的中线，点 E，F 分别在 BC，DA 的延长线上，
CE＝BC，AF＝AD，如果△ABC 的面积是 8，那么△DEF 的面积等于 ．
我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了(a  b)n （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
( x  2)5 的展开式中 x 的一次项系数是 ；
(a  b)2025 的展开的多项式中各项系数之和为.
三、解答题（共 60 分）
17.（4 分）计算：m7•m5+（－m3）4－（－2m4）3 .
18.（6 分）先化简，再求值：[（3x+1）（3x－1）－（2x+3）2+（x+2）（x+5）]÷x，其中 x＝－1．
（5 分）如图，在△ACF 和△BDE 中，点 A，B，C，D 在同一直线上，∠CAF=∠DBE，
AB=CD，∠E=∠F. 求证：CF∥DE.
20.（5 分）已知：如图 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°．
求作：点 P，使得点 P 在 AC 上，且点 P 到 AB 的距离等于 PC 的长．
作法：①以点 B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线 BA，BC 于点 D，E；
②分别以点 D，E 为圆心，以大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内部交于点 F；
③作射线 BF 交 AC 于点 P．则点 P 即为所求．
使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
完成下面证明．连接 DF，EF.
证明：在△BDF 和△BEF 中
 DB  EB

DF  EF

 BF  BF
∴△BDF≌△BEF（① ）（填推理的依据）.
∴∠ABF＝∠CBF.
∵∠ACB＝90°，
∴PC⊥BC.
作 PQ⊥AB 于点 Q，
∵点 P 在 BF 上
∴PC＝②．（③ ）（填推理的依据） 21.（5 分）如图，△ABC 中，AD 是 BC 上的高，AE 平分∠BAC，∠B＝65°，∠C＝45°，求∠DAE 的度数．
22.（6 分）如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEC 中，∠B=∠DEC=90°，延长 DE 交 AB 于点 F，已知 AB=DE，AC=DC，若 AF=3，DE=7，求 EF 的长度.
23.（7 分）观察下列一组等式：
(a  1)(a2  a  1)  a3  1；
(a  2)(a2  2a  4)  a3  8； (a  3)(a2  3a  9)  a3  27； (a－4)(a2  4a  16)  a3  64.
利用你的发现填空．
① (x  3) x2  3x  9  ；
② (2x  1) （）  8x3 1 ；
③ （）  x2  4 xy 16 y2  x3  64 y3；
利用你发现的规律计算： (a  b)(a  b)(a2  ab  b2 )(a2  ab  b2 )
利用你发现的规律解决问题.
若 a+b=3，ab=－10，则 a3+b3 的值为.
24.（7 分）如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 的延长线上，M 是 BD 的中点，E 是线段 CA 上一动点，且 CE＝CD，连接 AD，作 DF⊥AD 交 EM 延长线于点 F．猜想线段 AD 与 DF 的数量关系，并证明你的结论.
25.（7 分）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
请写出图 1，图 3 阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图 1：；图 2：（a－b）2＝a2－2ab+b2；图 3：．
这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图 4，已知 a+b＝3，ab＝1，求 a2+b2 的值．
方法一：从“数”的角度解：
∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1，
∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度解：
∵a+b＝3，
∴S 大正方形＝9，又∵ab＝1，
∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S 大正方形－S2－S3＝9－1－1＝7．即 a2+b2＝7．类比迁移：
若 a+b＝5，ab＝6，则 a2+b2＝ ．
若 a，b 为非负数，a－b=3，ab＝1，则 a＋b＝.
若（5－x）（x－1）＝3，则（5－x）2+（x－1）2＝ ．
如图 5，点 C 是线段 AB 上的一点，以 AC，BC 为边向两边作正方形，设 AB＝10，两个正方形的面积和 S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．
26. （8 分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题.
某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：
已知在四边形 ABCD 中，AB=AD，E，F 分别是直线 BC，CD 上的点.
（ 1 ） 如图 1 ， 若 AB⊥CB ， AD⊥CD ， E ， F 分别在线段 BC ， CD 上， 且满足
EAF  1 BAD ，试探究线段 EF，BE，DF 之间的数量关系．
2
数学小组探究此问题的方法是：延长 CB 到点 G，使 BG＝DF．连接 AG，先证△ABG 与△ADF 的全等，再证△AEF 与△AEG 的全等，可得到 EF，BE，DF
之间的数量关系.
经过以上分析，直接写出线段 EF，BE，FD
之间的数量关系为.
（2）如图 2，若∠ABC+∠ADC＝180°，点 E，点 F 分别在线段 CB，DC 的延长线上，
且满足EAF  1 BAD ，试探究线段 EF，BE，DF 之间的数量关系．
2
数学小组的同学们先猜想线段 EF，BE，DF 之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法：
方法 1：延长 BE 至点 G，使得 BG=DF，先证△ABG 与△ADF 的全等，再证△AEF 与△AEG 的全等，可得到线段 EF，BE，DF的之间的数量关系.
方法 2：在 DF 上截取 DG=BE，先证△ADG 与△ABE 的全等，再证△AEF 与△AGF 的全等，可得到 EF，BE，DF 之间的数量关系.
请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明.
如图 3，若∠ABC+∠ADC＝180°不变，点 E 在 CB 的延长线上，点 F 在 CD 的延长线上，若 EF＝BE+DF，请直接写出∠EAF 与∠BAD 的数量关系．
陈经纶中学 2025-2026 学年度第一学期 初二数学 期中试卷
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 8 个小题，每题 2 分，共 16 分）
二、填空题（本大题共 8 个小题，每题 3 分，共 24 分）
9. 10210. 2211. －4y12. 4513. －314. 7m+4815. 2416. 5， 22025
三、解答题（共 60 分，其中 17 题 4 分，18 题 6 分，19-21 题每题 5 分，22 题 6 分，23-25 题每题 7 分，
26 题 8 分）
（4 分）m7•m5+（－m3）4－（－2m4）3
= m12+m12+8m123 分
=10m124 分
18.（6 分）
[（3x+1）（3x－1）－（2x+3）2+（x+2）（x+5）]÷x
= [9x2－1－(4x2+12x+9)+x2+5x+2x+10]÷x3 分
= (9x2－1－4x2－12x－9+x2+5x+2x+10)÷x
=(6x2－5x)÷x4 分
=6x－55 分
将 x=－1 代入，
原式=6×(－1)－5=－116 分
19.（5 分）证明：
∵ AB=CD
∴ AB+BC=CD+BC
∴ AC=BD1 分
在△ACF 和△BDE 中
F  E

CAF  DBE

AC  BD
∴△ACF≌△BDE（AAS）4 分
∴ ∠ACF=∠BDE
∴ CF//DE5 分
20 .（5 分）
如图2 分
① SSS② PQ③角的平分线上的点到角两边的距离相等5 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
A
C
D
B
B
21.（5 分）
在△ABC 中
∠BAC+∠B+∠C=180°
∵∠B=65°，∠C=45°
∴∠BAC=70°1 分
∵AE 平分∠BAC
∴∠BAE=1∠BAC=35°2 分
2
∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°3 分
在 Rt△ABD 中
∠B+∠BAD=90°
∵∠B=65°
∴∠BAD=25°4 分
∵∠DAE=∠BAE－∠BAD=90°
∴∠DAE=10°5 分
22. （共 6 分）
∵ AB=DE，DE=7
∴ AB=71 分
∵ BF=AB－AF，AF=3
∴ BF=42 分
在 Rt△ABC 和 Rt△DEC 中
AC  DC

 AB  DE
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）
∴ BC=EC4 分
在 Rt△BFC 和 Rt△EFC 中
CF  CF

BC  EC
∴ Rt△BFC≌Rt△EFC （HL）
∴ BF=EF5 分
∵BF=4
∴EF=46 分
23.（共 7 分）
（1）① x3－27② 4x2－2x+1③ x－4y3 分
（2） 原式=(a3+b3)(a3－b3)5 分
=(a3)2－(b3)2
=a6－b66 分
（3）1177 分
24.（共 7 分）
答：AD=DF1 分
证明：连接 EB
∵∠ACB=90°，点 C 在 BD 上
∴∠ACD=∠ACB=90°
在△ADC 和△BEC 中
AC  BC

ACD  BCE

CD  CE
∴△ADC≌△BEC（SAS）
∴∠DAC=∠EBC，AD=BE3 分
∵ DF⊥AD
∴∠ADF=90°
∵∠ADF=∠ADB+∠BDF
∴∠ADB+∠BDF=90°
在△ADC 中，∠ACD=90°
∴∠ADB+∠DAC=90°
∴ ∠DAC=∠BDF
∴∠EBC=∠BDF4 分
∵点 M 为 BD 的中点
∴BM=DM5 分
在△BME 和△DMF 中
 EBC  BDF

BM  DM

BME  DMF
∴△BME≌△DMF 中（ASA）
∴ BE=DF
∴AD=DF7 分
（7 分）
（1）(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)(a－b)=a2－b22 分
（2）133 分
13
4 分
（4）105 分
（5）设大正方形边长为 a，小正方形边长为 b.
由题意得：a2+b2=72，a+b=10
2ab=(a+b)2－(a2+b2)=100－72=286 分
所以 S =1ab=77 分
阴 2
（8 分）
EF=BE+DF1 分
DF=BE+EF2 分
方法 1
延长 BE 至点 G，使得 BG=DF，连接 AG.
∵ ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABG=180°
∴ ∠ADC=∠ABG
在△ADF 和△ABG 中
AD  AB

ADC  ABG

DF  BG
∴△ADF≌△ABG（SAS）
∴ AF=AG，∠DAF=∠BAG4 分
∴∠DAF+∠BAF=∠BAG+∠BAF
∴∠BAD=∠BAE+∠EAG+∠BAF即∠BAD=∠EAF+∠EAG
1
∵∠EAF=
2
∠BAD
∴∠EAF=∠EAG5 分
在△EAF 和△EAG 中
 AE  AE

EAF  EAG

 AF  AG
∴△EAF≌△EAG（SAS）
∴EF=EG
∵DF=BG，BG=BE+EG
∴DF=BE+EF6 分
方法 2
在 DF 上截取 DG=BE 至点 G，使得 DG=BE，连接 AG.
∵ ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°
∴ ∠ADG=∠ABE
在△ADG 和△ABE 中
AD  AB

ADG  ABE

DG  BE
∴△ADG≌△ABE（SAS）
∴ AG=AE，∠DAG=∠BAE4 分
∴ ∠DAG+∠BAF=∠BAE+∠BAF
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF
∴∠DAG+∠BAF=∠EAF
1
∵∠EAF=
2
∠BAD
∠BAD=∠DAG+∠GAF+∠BAF
∴∠EAF=∠GAF5 分
在△EAF 和△GAF 中
 AF  AF

EAF  GAF

 AE  AG
∴△EAF≌△GAF（SAS）
∴EF=GF
∵DF=DG+GF
∴DF=BE+EF6 分
（3） EAF  180－ 1 BAD
2
…8 分