江苏省南京市中华中学2025-2026学年高三上学期10月学情调研考试数学试题及其答案解析

这是一份江苏省南京市中华中学2025-2026学年高三上学期10月学情调研考试数学试题及其答案解析，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={−1,0,1,2},B={xx−1∣f1 B. f0>f3C. f1>f2 D. f1>f3
7. 现有 4 个礼品盒, 前三个礼品盒中分别装了一支钢笔, 一本书以及一个笔袋, 第 4 个礼品盒中三样均有. 现随机抽取一个礼盒,事件 A 为抽中的盒子里面有钢笔,事件 B 为抽中的盒子里面有书,事件 C 为抽中的盒子里面有笔袋,则下面选项正确的是 ( )
A. A 与 B 互斥 B. A 与 B∪C 互斥
C. A 与 B∩C 相互独立 D. A 与 B∩C 相互独立
8. 已知函数 fx=ex−lnxx 与 gx=ax+ea−1 的图象有两个不同的交点,则实数 a 的取值范围是( )
A. 0,1 B. 1,e C. 1,+∞ D. e,+∞
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某篮球运动员 8 场比赛中罚球次数的统计数据分别为:2,6,8,3,3,4,6,8, 关于该组数据，下列说法正确的是( )
A. 中位数为 3 B. 众数为 3,6,8 C. 平均数为 5 D. 方差为 4.8
10. 已知向量 a=2,1,b=−1,x ,下列结论正确的是 ( )
A. 若 a⊥b ,则 x=2
B. 若 a//b ,则 x=−12
C. 若 a,b 的夹角为钝角,则 x0 截直线 x+y=0 所得线段的长度是 22 ,则圆 M 的方程为_____.
14. 若 a>0,b>0 ,且 6+3lna−a=9b−3lnb ,则 a+b= _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或者演算 过程.
15. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 2an=Sn+n+2n∈N∗,bn=an+1 .
(1)证明:数列 bn 是等比数列,并求数列 an 的通项公式；
(2) 求数列 nbn 的前 n 项和 Tn .
16. 如图,四棱锥 P−ABCD 中,平面 PAD⊥ 平面 ABCD ,底面 ABCD 为梯形, AD//BC , ∠BAD=∠PAD=90∘,AD=AB=AP=2BC , E 是 PD 的中点.

(1)求证: CE// 平面 PAB ；
(2)求平面 ACE 与平面 CDE 的夹角的余弦值.
17. 锐角 OABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 a2−c2sinC=bc−c2sinB .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 VABC 的周长为 6，求 a 的取值范围.
18. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距为 4,上、下顶点分别为 B1,B2 ,点 P6,1 在椭圆 C 上.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若 Q 为椭圆 C 上异于 B1,B2 的点，点 R 满足: B1R⊥B1Q,B2R⊥B2Q ，求 OR 的范围( O 为坐标原点).
19. 已知函数 fx=ex−2lnx .
(1)求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2) 设函数 gx=1−ln2+lnxx−lnx+1 .
(i) 设 x0 为 gx 的极值点,证明: 2−ln20 ,都有 fa−2gb≥0 .
参考答案
1. D
【分析】化简集合 B ,再根据集合的交集运算求解.
【详解】由 x−10⇒x>1,φ′x