2025届云南三校高考备考实用性高三下学期2月联考卷（六）数学试题及答案

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【解析】
1．因为，所以中有3个元素，故选B．
2．因为，所以的虚部为−3，故选A．
3．由题意可知，即，所以数列是等差数列，且公差为2，所以，故选D．
4．因为， ，所以，，，故选C．
5．∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则，则展开式通项公式是，令，得，∴的系数为，故选A．
6．由题意，，由，则函数为奇函数，即因，易知其为增函数，则，解得或，故选C．
7．令，得由于，所以. 又因为在上有且只有5个零点，所以，解得故选B．
8．由，，可转化为设，则，当时，即，可解得即，即令，当时，，单调递减，当时，，单调递增，即，即则故选D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9．由题意得，则新的平均数，A正确；举例：1，1，1，2，2，5满足平均数为2，中位数为，增加数据2后中位数变成了2，B错误；举例：1，2，2，2，2，3，其方差为，增加数据2后方差变为，C错误；根据平均数的概念知，当所有数据均相等时，取等；则增加一个数据2，极差不变，D正确，故选AD．
10．当P为BD中点时，，所以平面，A正确；因为，所以截面为梯形，B正确；因为，所以体积为定值，C错误；三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，所以表面积D正确，故选ABD．
11．设直线的方程为令由得 得即的斜率为，A正确；设由 则直线PQ方程： 则 点P的坐标为，则，而 ，B正确； ，C正确；设，由为正三角形，则， ，得的周长为，D错误，故选ABC．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12．由垂径定理知O到直线AB的距离为2，所以．
13．由得，由得．设为双曲线C上任意一点，则，即．而双曲线C的渐近线为，所以点M到两条渐近线的距离之积为．
14．，，则，当时，易得，且，则，所以，而，故，所以，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，所以，所以，， ，所以． ，当时，递增，且，因此对于集合中的元素有：当时，可取共97种情况，当时，可取共98种情况，当时，可取共97种情况，当时，可取共96种情况，，当时，可取共2种情况，当时，可取共1种情况，综上，可取的情况共有．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）
．…………………（5分）
（2）
，


……………………………………………（8分）
………………………………（11分）
………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
（1）证明：如图1，取的中点，连接，连接，交于. ………………………………………………（1分）
图1
在中，，，
．……………………………………………………………（2分）
平面平面，
平面底面，………………………………………（3分）
底面，底面，……………………………（4分）
在正方体中，
………………（5分）
又
即……………………………………………（6分）
又平面，
…………………………………………………………………（7分）
平面． ……………………………（8分）
（2）解：过点作的平行线，交于，则，
以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，建立如图2所示空间直角坐标系，
不妨设，则
图2
∵平面平面，平面平面，平面
平面，，则，
………………………………………………………（9分）
………………………………………………………（10分）
设平面的一个法向量为
则即 令，
…………………………………………………………………（11分）
设平面的一个法向量为
则即 令，
………………………………………………………（12分）
设所成二面角为，
…………………………（13分）
………………………………（14分）

所成二面角的正切值为． ……………………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
解：（1），，……………………………（2分）
同时取到雅丹黑外观和月影灰内饰的模型有2个，即，
．……………………………………………（4分）
因为，
所以，即事件和事件不独立．
……………………………………………………………（6分）
（2）由题意知760，380，190，
则外观和内饰均同色的概率
外观和内饰都异色的概率
仅外观或仅内饰同色的概率，…………………（9分）
因为，
所以，，，
………………………………………………………………（12分）
则X的分布列为：
(元)．…………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1）由题意得 ………………………（2分）
整理得 解得 …………………………………………（4分）
所以得椭圆方程为．………………………………………（5分）
（2）（i）当直线斜率不存在时，设则有
因为原点是△的重心，所以
即，. ……………………………………………（6分）
将代入解得，．
所以到直线的距离为3．…………………………………………（9分）
（ii）当斜率存在时，设所在直线方程为，
由得
即，
且．……………………（11分）
因为原点是的重心，所以
所以，故
将点代入椭圆方程并整理可得， …………………………（14分）
所以点到直线的距离为
．
综上所述，得点到直线的距离的最大值为．
……………………………………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
（1）证明：当为奇函数时，，
两边同时求导得，即，
所以为偶函数；
当为偶函数时，，两边同时求导得，即，所以为奇函数． …………………………………（4分）
（2）解： （注：可为任意一个常数）
……………………………………………（9分）
（3）解：且对恒成立，
所以必存在，使在递增，
对应，即对恒成立．
又，所以必有
.
………………………（13分）
当时，
在递增，有 进而得在递增，
所以，不等式恒成立．
综上可知，的取值范围为 ……………………………………（17分） 题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
C
A
C
B
D
题号
9
10
11
答案
AD
ABD
ABC
题号
12
13
14
答案
4
；4948