【数学】北京市房山区2026届高三上学期入学考试试题（学生版+解析版）

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（ ）
A. B. C. 2D. 3
5. 若且，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数的定义域分别为集合，则“”是“曲线与无交点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数关于对称，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
9. 生物学家通过数学建模，得到恒温动物（如豚鼠、兔、小狗等）的脉搏率（单位：次/分钟）和体重（单位：克）的关系模型为，其中为常数．已知一只体重为300克的豚鼠的脉搏率为300次/分钟，若一只小狗的体重为克，那么该小狗的脉搏率最接近的是（ ）
A. 120次/分钟B. 110次/分钟
C. 100次/分钟D. 90次/分钟
10. 已知在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 抛物线的焦点到准线的距离是______________．
12. 若，则_________；_________．
13. 已知在中，．写出满足条件的一组角的值_________，_________．
14. 羡除是我国古代数学著作《九章算术》中记载的一种特殊五面体，其有三条相互平行且不全相等的棱，这三条棱在古算中被称为“三广”．《九章算术》中记载的羡除体积的计算方法简洁而准确，其术文曰：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一．”现有羡除如图所示，．底面为正方形，，其余棱长均为2，则该羡除的体积为_________．
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①当时，函数恰有1个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．
其中正确结论的序号是_________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在中，．
（1）求的值；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按照第一个解答计分．
17. 如图，在多面体中，四边形为矩形，四边形为梯形，，，，，为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值．
18. 为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：）如下：
假设每个工人完成工作所需时间相互独立．用频率估计概率．
（1）从第一组工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于80分钟的概率；
（2）从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，记这两人中完成生产任务的工作时间小于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望；
（3）根据已知样本数据，应该采用哪种生产方式？说明你的理由．
19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．
20. 已知函数在点处的切线为．
（1）若时，切线与轴平行，求的值；
（2）若在处取得极大值，求的取值范围；
（3）过点的直线与垂直，当都与轴相交时，交点的横坐标分别是．当时，求的取值范围．
21. 已知数列，集合，序列，T，其中．对数列进行如下变换：将的第项分别换为，其余项不变，得到的数列记作；将的第，，项分别换为，，，其余项不变，得到的数列记作；…；以此类推，得到…，简记为；
（1）给定数列0，1，0，1，0，1，0和序列，写出；
（2）给定数列0，0，0，0，0，0，0，请写出一个序列，使得为1，1，1，1，1，1，1，并求的最小值；
（3）若项数为的数列的各项均为0，证明：存在序列，使得的各项均为1，并求的最小值．
生产方式
工作时间（单位：）
第一种
68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 86 87 87 88 89 90 90 91 91 92
第二种
65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 74 75 76 76 78 81 84 84 85 93