江苏省天一中学2025-2026学年高一上学期10月质量检测数学试题及答案

这是一份江苏省天一中学2025-2026学年高一上学期10月质量检测数学试题及答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，下列式子错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．设，，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．无法确定
4．命题“是无理数”的否定是（ ）
A．不是无理数B．不是无理数
C．不是无理数D．不是无理数
5．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ）．
A．B．
C．D．
6．“成立”是“成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7．已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A．4B．C．2D．
二、多选题
9．下列各组函数中，是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与D．与
10．设正实数满足，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最大值为D．的最小值为
11．设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有且，则称是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集
B．集合是“和谐集”
C．若，都是“和谐集”，则
D．对任意两个不同的“和谐集”，，总有
三、填空题
12．设函数，若，则实数a的值为 ．
13．若函数的定义域为，则函数的定义域是 .
14．时，函数的最小值为，则实数a的值为 .
四、解答题
15．已知集合，.
(1)当时，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
16．已知二次函数．
(1)若函数的定义域为，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式（其中）．
17．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
18．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)解不等式．
19．问题：已知，，均为正实数，且，求证：.证明：当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：
(1)已知，，均为正实数，且，求的最小值；
(2)已知，，，均为正实数，且，求证：；
(3)求的最小值，并求出使得取得最小值时的值.
《江苏省天一中学2025-2026学年高一上学期10月质量检测数学试题》参考答案
1．B
【分析】求出集合A，即可依次判断.
对A：利用元素与集合关系判断；
对B：“”表示元素与集合之间的关系；
对C：是任何集合的子集；
对D：判断与是否为包含关系.
【详解】，
.
与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故B错误.
故选：B
2．D
【分析】先求出集合，，再根据交集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
3．A
【分析】利用作差法分析判断.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
4．A
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解.
【详解】解：由全称量词命题的否定为存在量词命题，
得命题：是无理数”的否定是：不是无理数.
故选：A.
5．D
【分析】由函数奇偶性求解析式即可.
【详解】解析 因为当时，，为奇函数，
所以当时，，
所以，即，
故选：D．
6．B
【分析】分别求解绝对值不等式和分式不等式，再根据充要条件的要求判断即得.
【详解】由 ，即得；
由，解得：.
因为由“”推不出“”，而由“”可以推出“”
故可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件.
故选：B.
7．C
【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可.
【详解】因为对任意，当时，都有成立，
所以函数在上单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
8．B
【分析】由不等式的解集可得是方程的两根，利用韦达定理求得，从而可得，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为关于x的不等式的解集为，
可知是方程的两根，
且，且，
可得，
则，
可得，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值是.
故选：B.
9．CD
【分析】根据同一函数的定义，对每组函数的定义域与对应关系进行比较判断.
【详解】对于选项.
函数，定义域为，化简得.
函数，定义域为.
两函数的定义域虽相同，但对应关系不一致，所以不是同一函数.选项错误.
对于选项.
函数，定义域为.
函数，定义域为，化简得.
两函数对应关系不一致，所以不是同一函数.选项错误.
对于选项.
函数，定义域为，值域为.
函数，定义域为，值域为.
即对，有.故两函数是同一函数.选项正确.
对于选项.
函数，定义域为.
函数，定义域为.
对，有，故两函数是同一函数.选项正确.
故选：
10．ABD
【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可.
【详解】对于A，因为正实数，满足，
所以，
当且仅当且，即，时等号成立，故A正确；
对于B，，
则，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，由，可得，
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ABD.
11．ABC
【分析】根据已知中关于“和谐集”的定义，利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得出答案.
【详解】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A正确；
B项中，设，则，，所以集合是“和谐集”，故B正确；
C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C正确；
D项中，取，，都是“和谐集”，
但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D错误.
故选：ABC
12．5
【分析】根据可知，再结合即可求出a的值．
【详解】∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
13．
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】因为函数的定义域为，
则对于函数，令，解得，
所以函数的定义域是．
故答案为：
14．或3
【分析】按二次函数对称轴与给定范围的关系分类探讨最小值求解.
【详解】二次函数图象开口向上，其对称轴为，
当时，，，则；
当时，，，解得或，无解；
当时，，，解得，则，
所以实数a的值为或3.
故答案为：或3
15．(1)或，
(2)
【分析】（1）根据补集和并集概念计算出答案；
（2）分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）时，，或，
；
（2），当时，，解得，
当时，，解得，
故实数的取值范围是.
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由函数定义域的意义，转化为一元二次不等式在实数集上恒成立求解；
（2）分类求解含参的一元二次不等式.
【详解】（1）由函数的定义域为，得在上恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）不等式化为，
即，
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得或；
当时，不等式化为，
若，不等式无解，
若，则，解得，
若，则，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17．(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元
(2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元
【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可；
（2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果.
【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有
，
当且仅当，即时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
（2）设月利润为万元，则有，
由题知，整理得，解得.
所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
18．(1)，
(2)定义域内单调递减，证明见详解
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质及列方程求，，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解.
【详解】（1）因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即.
又因为，所以，即.
故函数的解析式为，
（2）对，且，.
其中，，.
因此，，即对且，有.
所以函数在定义域内单调递减.
（3）因，有意义，所以，，解得.
所以 ，即也在的定义域内.
而是定义域上的奇函数，所以.
故不等式即为.
又因在定义域内单调递减，所以，解得.
综上，.
所以不等式的解集为.
19．(1)
(2)证明见解析；
(3)；.
【分析】（1）将条件转化为，再结合基本不等式可得；
（2）直接由条件和基本不等式可得；
（3）根据条件利用换元法转化为条件等式的最值问题，再利用（2）中结论可得最小值.
【详解】（1）由，得，且，，均为正实数，所以
.
当且仅当时等号成立，又，得，，时等号成立.
故的最小值为.
（2）由，，，均为正实数，且，所以
，
即.当且仅当时等号成立，即，又，解得，
所以时，，时等号成立.
故.
（3）由，得，即.
令，，则，，，，即.
所以，由（2）可得，
由，所以，当且仅当时等号成立，此时.
故时取得最小值.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
A
D
B
C
B
CD
ABD
题号
11









答案
ABC