高考物理一轮复习讲义51　第十章　第2节　磁场对运动电荷的作用

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2．学会分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题。
1．洛伦兹力
(1)定义：________在磁场中受到的力。
(2)大小
F＝__(v∥B时)。
F＝_________(v⊥B时)。
F＝qvB sin θ(v与B夹角为θ)。
注意：“v”指电荷相对于磁场的速度。
(3)方向判定
左手定则：伸出左手，使拇指与其余四个手指____，并且都与手掌在同一个平面内。让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向______运动的方向(或负电荷运动的反方向)。这时拇指所指的方向就是运动电荷在磁场中所受________的方向。
(4)特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B与v决定的平面，F与v始终垂直，洛伦兹力______。
2．带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)v∥B时：带电粒子做________运动。
(2)v⊥B时
①运动性质：________运动。
②动力学方程：qvB＝mv2r。
③半径、周期公式：r＝________，T＝_______。
④运动时间：t＝lv＝_________。
1．易错易混辨析
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。( )
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。( )
(3)根据公式T＝2πrv，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。
( )
(4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。( )
2．(人教版选择性必修第二册改编)如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°。下列判断正确的有( )
A．电子轨迹所对圆心角为30°
B．电子的轨迹半径为d2
C．电子的比荷为v2dB
D．电子穿越磁场的时间为23πd9v
3．(人教版选择性必修第二册改编)如图所示，正方形abcd内有一垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，一束电子以不同的速率沿ab方向垂直磁场射入，形成从c点离开磁场区域和从d点离开磁场区域的甲、乙两种轨迹。设沿甲、乙轨迹运动的电子速度大小分别为v甲、v乙，在磁场中运动的时间分别为t甲、t乙，则( )
A．v甲＝12v乙，t甲＝t乙
B．v甲＝12v乙，t甲＝12t乙
C．v甲＝2v乙，t甲＝t乙
D．v甲＝2v乙，t甲＝12t乙
洛伦兹力的理解与应用
1．洛伦兹力的理解
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力的方向时，要注意使四指指向电荷运动的反方向。
(4)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
2．洛伦兹力与静电力的比较
洛伦兹力的特点
[典例1] (2023·海南卷)如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场B，关于小球运动和受力的说法正确的是( )
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程中的加速度保持不变
D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
[听课记录]



洛伦兹力与静电力的比较
[典例2] (多选)如图所示，带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够达到的最大高度为h1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3；若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4。不计空气阻力，则( )
A．一定有h1＝h3 B．一定有h1＜h4
C．h2与h4无法比较 D．h1与h2无法比较
[听课记录]



洛伦兹力作用下带电体的运动
[典例3] (多选)如图所示，套在很长的绝缘直棒上的小球，质量为1.0×10-4 kg，带电荷量为 ＋4.0 ×10-4 C，小球在棒上可以滑动，将此棒竖直放置在沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，匀强电场的电场强度E＝10 N/C，方向水平向右，匀强磁场的磁感应强度B＝0.5 T，方向垂直于纸面向里，小球与棒间的动摩擦因数为μ＝ 0.2 ，设小球在运动过程中所带电荷量保持不变，g取 10 m/s2，则( )
A．小球由静止沿棒竖直下落的最大加速度为2 m/s2
B．小球由静止沿棒竖直下落的最大速度为2 m/s
C．若磁场的方向反向，其余条件不变，小球由静止沿棒竖直下落的最大加速度为 5 m/s2
D．若磁场的方向反向，其余条件不变，小球由静止沿棒竖直下落的最大速度为 45 m/s
[听课记录]



带电粒子在匀强磁场中的运动
1．带电粒子在几种典型有界磁场中的运动
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。
(2)平行边界：往往存在临界条件，如图所示。
(3)圆形边界
①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角。
②速度方向不指向圆心：粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ，如图乙所示。
2．分析、求解带电粒子在有界匀强磁场中运动问题的一般步骤
[典例4] (多选)(2025·山东聊城市高三期中)如图，虚线上方空间分布着垂直于纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点。已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向发射，不计粒子所受的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是( )
A．质子在磁场中运动的半径为12l
B．α粒子在磁场中运动的半径为32l
C．质子在磁场中运动的时间为πl2v
D．质子和α粒子发射的时间间隔为7πl6v
[听课记录]



[典例5] (2024·湖北卷)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是( )
A．粒子的运动轨迹可能经过O点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为7πm3qB
D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为3qBR3m
[听课记录]




粒子轨迹圆心的确定方法，半径、运动时间的计算方法
1．圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。
2．半径的计算方法
方法一：由R＝mvqB求得。
方法二：连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得。
(1)由R＝Lsinθ或R2＝L2＋(R－d)2求得，如图丙。
(2)常用到的几何关系
①粒子速度的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图丁，即φ＝α。
②弦切角等于弦所对应圆心角的一半，如图丁，即θ＝12α。
3．时间的计算方法
方法一：利用圆心角θ、周期T求得，即t＝θ2πT。
方法二：利用弧长l、线速度v求得，即t＝lv。
“磁聚焦”和“磁发散”模型
在圆形边界的匀强磁场中，如果带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域圆的半径，则有如下两个重要结论：
[典例6] (多选)如图所示，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等，不计粒子间的相互作用。圆心在(0，R)、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。磁场右侧有一长度为R、平行于y轴的光屏，其中心位于(2R，R)。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则( )
A．粒子速度大小为qBRm
B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子中，在磁场中运动时间最长为2πm3qB
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴正方向夹角满足45°≤θ≤135°
[听课记录]



[典例7] 为了探测带电粒子，研究人员设计了如图所示的装置。纸面内存在一个半径为R、圆心为O′的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，该磁场区域在垂直纸面的方向上足够长。以O′右边的O点为中心放置一个足够大的探测屏，探测屏与OO′连线垂直。纸面内圆形磁场区域正下方存在一个长度为R且沿水平方向的线状粒子源MN，O′在MN的中垂线上，O′到MN的垂直距离为1.5R。该粒子源各处均能持续不断地发射质量为m、电荷量为＋q的粒子，粒子发射时的速度大小相同，方向竖直向上，从粒子源MN中点发射的粒子离开磁场时速度恰好沿O′O方向，不计粒子重力和粒子间相互作用力。
(1)求粒子发射时的速度大小v0；
(2)求粒子源同时从左端点M与右端点N发射的粒子打到屏上所经历的时间之差Δt。
[听课记录]




1．(2022·北京卷)正电子是电子的反粒子，与电子质量相同，带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场，从P点发出两个电子和一个正电子，三个粒子的运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的是( )
A．磁场方向垂直于纸面向里
B．轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C．轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大
D．轨迹3对应的粒子是正电子
2．(多选)(2023·全国甲卷)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是( )
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
3．(多选)(2024·河北卷)如图所示，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面。A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是( )
A．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出
B．若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出
C．若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为45°
D．若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°
项目
洛伦兹力
静电力
产生条件
v≠0且v与B不平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场方向的关系
F⊥B(F⊥B、v平面)
F∥E
做功情况
任何情况下都不做功
可能做功，也可能不做功
作用效果
只改变电荷运动的方向，不改变速度大小
既可以改变电荷运动的速度方向，也可以改变速度大小
磁发散
磁聚焦
如图甲所示，当粒子从磁场边界上同一点以相同速率沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，而且与入射点的切线方向平行。此情境称为“磁发散”。
如图乙所示，当粒子以大小相等且相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子一定会从同一点离开磁场区域，而且该点切线与入射方向平行。此情境称为“磁聚焦”。