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第9章 第2讲 磁场对运动电荷的作用—2022届高中物理一轮复习讲义（机构专用）学案
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这是一份第9章 第2讲 磁场对运动电荷的作用—2022届高中物理一轮复习讲义（机构专用）学案，共22页。学案主要包含了教学目标，重、难点，知识梳理，能力展示，小试牛刀，大显身手等内容，欢迎下载使用。
第九章 磁场
第2讲 磁场对运动电荷的作用
【教学目标】1．会计算带电粒子在磁场中运动时所受的洛伦兹力，并能判断其方向
2．掌握带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动，确定其圆心、半径、运动轨迹、运动时间等问题．
【重、难点】找圆心、求半径、利用几何关系求半径
【知识梳理】
（1）带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。（ ）
（2）洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。（ ）
（3）根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。（ ）
（4）粒子在只受洛伦兹力作用时运动的速度不变。（ ）
（5）由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功。（ ）
（6）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。（ ）
（7）利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷。（ ）
（8）经过回旋加速器加速的带电粒子的最大动能是由D形盒的最大半径、磁感应强度B、加速电压的大小共同决定的。（ ）
（1）荷兰物理学家 提出运动电荷产生了磁场和磁场对运动电荷有作用力的观点。
（2）英国物理学家 发现电子，并指出：阴极射线是高速运动的电子流。
（3） 设计的质谱仪可用来测量带电粒子的质量和分析同位素。
（4）1932年，美国物理学家 发明了回旋加速器，能在实验室中产生大量的高能粒子。（最大动能仅取决于磁场和D形盒直径，带电粒子圆周运动周期与高频电源的周期相同）
典例精析
考点一 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．分析方法：找圆心、求半径、确定转过的圆心角的大小是解决这类问题的前提，确定轨道半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间t和转过的圆心角α之间的关系作为辅助。
（1）圆心的确定
① 基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心．
② 两种情形
a．已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点）。
b．已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图乙所示，图中P为入射点，M为出射点）。
（2）半径的确定
可利用物理学公式或几何知识（勾股定理、三角函数等）求出半径大小．
计算半径时，应把握的两个重要几何特征：
① 粒子的偏向角φ等于圆心角α，并等于弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍，如图所示：φ=α=2θ
② 相对的弦切角θ相等。
（3）运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间为：t＝T（或t＝T）．
类型一 带电粒子在单直线边界磁场中的运动问题
进出磁场具有对称性，如图所示
例1、（多选）（2013·广东·21）如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上，不计重力，下列说法正确的有( )
A．a、b均带正电 B．a在磁场中飞行的时间比b的短
C．a在磁场中飞行的路程比b的短 D．a在P上的落点与O点的距离比b的近
变式1、（多选）（2011·浙江·20）利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L。一群质量为m、电荷量为q，具有不同速度的粒子从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．射出粒子的最大速度为
C．保持d和L不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
D．保持d和B不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
类型二 带电粒子在双直线边界磁场中的运动问题
平行边界存在临界条件，如图所示
例2、如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，宽度为L，边界为MN和PQ。一电子从MN边界外侧以速率v0垂直射入匀强磁场，入射方向与MN边界的夹角为θ。已知电子的质量为m，电量为e，为使电子能从磁场的另一侧PQ射出。
（1）求电子的速率v0至少为多大？
（2）若θ可取任意值，则v0的最小值是多少？轨道半径多大？
（3）若电子恰好垂直PQ射出，则电子的速率多大？
三 带电粒子在圆形边界磁场中的运动问题
（一）沿径向射入必沿径向射出
例3、如图所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力）从A点以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并从B点射出，若∠AOB＝120°，则该带电粒子在磁场中运动的时间为（ ）
A． B． C． D．
变式2、如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角．现将带电粒子的速度变为，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为（ ）
A．Δt B．2Δt C．Δt D．3Δt
（二）射入方向不沿径向
例4、（2016年全国新课标II卷）一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔．筒绕其中心轴以角速度顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成角．当筒转过时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )
A． B． C． D．
变式3、（2013·新课标Ⅰ·18）如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q（q>0）、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）( )
A． B． C． D．
（三）磁发散和磁聚焦
当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象．即当粒子由圆形磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场，如图甲所示；当粒子平行射入磁场中，会在圆形磁场中汇聚于圆上一点，如图乙所示
甲 乙
例5、（多选）如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场射入大量带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m．不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力，关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（ ）
A．只要对着圆心入射，出射后均可能垂直打在MN上
B．只要是对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线也一定过圆心
C．只要速度满足v＝，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
D．对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的弧长越长，时间也
变式4、如图所示，ABCD是边长为a的正方形。质量为m电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场，电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；（2）此匀强磁场区域的最小面积。
A
B
C
D
（四）最长时间
例6、如图所示，在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内有匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁感应强度B＝0.2 T，一个带正电的粒子以初速度v0＝1.2×106 m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场（图中未画出初速度方向），已知该粒子的比荷＝1×108 C/kg，不计粒子重力．
（1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；
（2）若要使粒子在磁场中运动的时间最长，求入射时v0与ab的夹角θ及粒子在磁场中的运动的时间。
类型四 其他有界磁场
例7、如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则( )
A．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2 B．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1 D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
变式6、如图所示，长方形abcd长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B＝0.25 T。一群不计重力、质量m＝3×10－7 kg、电荷量q＝＋2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×102 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则( )
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边
D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和bc边
考点二 洛伦兹力与电场力的比较
1．洛伦兹力与电场力的比较
对应力
内容
项目
洛伦兹力
电场力
性质
磁场对在其中运动电荷的作用力
电场对放入其中电荷的作用力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电场中的电荷一定受到电场力作用
大小
F＝qvB（v⊥B）
F＝qE
力方向与场
方向的关系
一定是F⊥B，F⊥v，与电荷电性无关
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
力为零时
场的情况
F为零，B不一定为零
F为零，E一定为零
作用效果
只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向
例9、在如图所示宽度范围内，用场强为E的匀强电场可使初速度是v0的某种正粒子偏转θ角．在同样宽度范围内，若改用方向垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），使该粒子穿过该区域，并使偏转角也为θ（不计粒子的重力），问：
（1）匀强磁场的磁感应强度是多大？（2）粒子穿过电场和磁场的时间之比是多大？
【能力展示】
【小试牛刀】
1．质量分别为m1和m2、电荷量分别为q1和q2的两粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动．已知两粒子的动量大小相等．下列说法正确的是（ ）
A．若m1≠m2，则它们做圆周运动的周期一定不相等
B．若q1≠q2，则它们做圆周运动的周期一定不相等
C．若m1＝m2，则它们做圆周运动的半径一定相等
D．若q1＝q2，则它们做圆周运动的半径一定相等
2．处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动．将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值（ ）
A．与粒子电荷量成正比 B．与粒子速率成正比
C．与粒子质量成正比 D．与磁感应强度成正比
3．（多选）如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则（ ）
A．该粒子带正电 B．A点与x轴的距离为
C．粒子由O到A经历时间t＝ D．运动过程中粒子的速度不变
4．（多选）如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直于纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，L）．一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向的夹角为60°。下列说法中正确的是( )
A．电子在磁场中运动的时间为 B．电子在磁场中运动的时间为
C．磁场区域的圆心坐标(，) D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为（0，－2L）
5．（多选）空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是（ ）
A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
6．如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为( )
A
B
v0
C
A．B> B．B< C．B> D．B<
7．如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（0＜θ＜π）以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）。则下列说法正确的是( )
A．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远
C．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
8．如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q的正电荷（重力忽略不计）以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角．磁场的磁感应强度大小为( )
A． B． C． D．
【大显身手】
9．（多选）如图所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界．一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场．若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A点．下列说法正确的有（ ）
A．若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0
B．若粒子落在A点的右侧，其速度一定大于v0
C．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能小于v0－
D．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能大于v0＋
10．（多选）如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd，e是ad的中点，f是cd的中点，如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的带电粒子，恰好从e点射出，则（ ）
A．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f点射出
B．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d点射出
C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，也将从d点射出
D．只改变粒子的速度使其分别从e、d、f点射出时，从f点射出所用的时间最短
11．（多选）某空间存在着如图甲所示的足够大的沿水平方向的匀强磁场．在磁场中A、B两个物块叠放在一起，置于光滑水平面上，物块A带正电，物块B不带电且表面绝缘．在t1＝0时刻，水平恒力F作用在物块B上，物块A、B由静止开始做加速度相同的运动．在A、B一起向左运动的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．图乙可以反映A所受洛仑兹力大小随时间t变化的关系
B．图乙可以反映A对B的摩擦力大小随时间t变化的关系
C．图乙可以反映A对B的压力大小随时间t变化的关系
D．图乙可以反映B对地面压力大小随时间t变化的关系
12．（多选）如图所示，O点有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，它们的速度大小相等、速度方向均在xOy平面内．在直线x＝a与x＝2a之间存在垂直于xOy平面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，与y轴正方向成60°角发射的粒子恰好垂直于磁场右边界射出．不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．关于这些粒子的运动，下列说法正确的是（ ）
A．粒子的速度大小为
B．粒子的速度大小为
C．与y轴正方向成120°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长
D．与y轴正方向成90°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长
13．（多选）如图所示，xOy平面的一、二、三象限内存在垂直纸面向外，磁感应强度B＝1 T的匀强磁场，ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为9 m，M点为x轴正方向上一点，OM＝3 m。现有一个比荷大小为＝1.0 C/kg可视为质点带正电的小球（重力不计）从挡板下端N处小孔以不同的速度向x轴负方向射入磁场，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，小球最后都能经过M点，则小球射入的速度大小可能是( )
A．4 m/s B．3.75 m/s C．3 m/s D．5 m/s
14．（多选）如图所示，一个绝缘且内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的内径大得多），在圆管的最低点有一个直径略小于细管内径的带正电小球处于静止状态，小球的质量为m，带电荷量为q，重力加速度为g．空间存在一磁感应强度大小未知（不为零），方向垂直于环形细圆管所在平面且向里的匀强磁场．某时刻，给小球一方向水平向右、大小为v0＝的初速度，则以下判断正确的是( )
A．无论磁感应强度大小如何，获得初速度后的瞬间，小球在最低点一定受到管壁的弹力作用
B．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细圆管的最高点，且小球在最高点一定受到管壁的弹力作用
C．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细圆管的最高点，且小球到达最高点时的速度大小都相同
D．小球在环形细圆管的最低点运动到所能到达的最高点的过程中，水平方向分速度的大小一直减小
15．如图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是（其中B0＝，A、C、D选项中曲线均为半径是L的圆弧，B选项中曲线为半径是的圆） ( )
第2讲 磁场对运动电荷的作用答案
例5、C选项解析：设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，
由牛顿第二定律得Bqv0＝m 得：r＝R
设粒子射入方向与PO方向之间的夹角为θ，带电粒子从区域边界S射出，带电粒子的运动轨迹如图所示．
因PO3＝O3S＝PO＝SO＝R，所以四边形POSO3为菱形
由图可知：PO∥O3S，v0′⊥SO3，故v0′⊥PO
因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关．
变式4、解析：（1）由圆周运动的特点可知，从C点入射的电子，只有立即进入磁场，才能由A点离开磁场．设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的洛伦兹力大小：F洛＝ev0B ①
方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a
由洛伦兹力提供向心力得： F洛＝m ②
联立①②式得：B＝ ③
A
B
C
D
E
F
p
q
O
θ
（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为θ（不妨设0≤θ≤）的情形。该电子的运动轨迹qpA如图所示。图中，圆的圆心为O，pq垂直于BC边 ，由③式知，圆弧的半径仍为a，在D为原点、DC为x轴，AD为y轴的坐标系中，P点的坐标(x，y)为
x＝asinθ ④
y=-[a-(a-acosθ)]= -acosθ ⑤
这意味着，在范围0≤θ≤内，p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为S＝2(πa2－a2)＝a2
例8、；
变式7、（1）t＝（2）v＝（n＝1、2、3……）
例9、（1） （2）
【能力展示】
1．D 2．D 3．BC 4．BC 5．BD 6．D 7．A 8．B 9．BC 10．BD
11．D 12．BC 13．BCD 14．BC 15．A
第九章 磁场
第2讲 磁场对运动电荷的作用
【教学目标】1．会计算带电粒子在磁场中运动时所受的洛伦兹力，并能判断其方向
2．掌握带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动，确定其圆心、半径、运动轨迹、运动时间等问题．
【重、难点】找圆心、求半径、利用几何关系求半径
【知识梳理】
（1）带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。（ ）
（2）洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。（ ）
（3）根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。（ ）
（4）粒子在只受洛伦兹力作用时运动的速度不变。（ ）
（5）由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功。（ ）
（6）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。（ ）
（7）利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷。（ ）
（8）经过回旋加速器加速的带电粒子的最大动能是由D形盒的最大半径、磁感应强度B、加速电压的大小共同决定的。（ ）
（1）荷兰物理学家 提出运动电荷产生了磁场和磁场对运动电荷有作用力的观点。
（2）英国物理学家 发现电子，并指出：阴极射线是高速运动的电子流。
（3） 设计的质谱仪可用来测量带电粒子的质量和分析同位素。
（4）1932年，美国物理学家 发明了回旋加速器，能在实验室中产生大量的高能粒子。（最大动能仅取决于磁场和D形盒直径，带电粒子圆周运动周期与高频电源的周期相同）
典例精析
考点一 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．分析方法：找圆心、求半径、确定转过的圆心角的大小是解决这类问题的前提，确定轨道半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间t和转过的圆心角α之间的关系作为辅助。
（1）圆心的确定
① 基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心．
② 两种情形
a．已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点）。
b．已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图乙所示，图中P为入射点，M为出射点）。
（2）半径的确定
可利用物理学公式或几何知识（勾股定理、三角函数等）求出半径大小．
计算半径时，应把握的两个重要几何特征：
① 粒子的偏向角φ等于圆心角α，并等于弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍，如图所示：φ=α=2θ
② 相对的弦切角θ相等。
（3）运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间为：t＝T（或t＝T）．
类型一 带电粒子在单直线边界磁场中的运动问题
进出磁场具有对称性，如图所示
例1、（多选）（2013·广东·21）如图所示，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上，不计重力，下列说法正确的有( )
A．a、b均带正电 B．a在磁场中飞行的时间比b的短
C．a在磁场中飞行的路程比b的短 D．a在P上的落点与O点的距离比b的近
变式1、（多选）（2011·浙江·20）利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L。一群质量为m、电荷量为q，具有不同速度的粒子从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．射出粒子的最大速度为
C．保持d和L不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
D．保持d和B不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
类型二 带电粒子在双直线边界磁场中的运动问题
平行边界存在临界条件，如图所示
例2、如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，宽度为L，边界为MN和PQ。一电子从MN边界外侧以速率v0垂直射入匀强磁场，入射方向与MN边界的夹角为θ。已知电子的质量为m，电量为e，为使电子能从磁场的另一侧PQ射出。
（1）求电子的速率v0至少为多大？
（2）若θ可取任意值，则v0的最小值是多少？轨道半径多大？
（3）若电子恰好垂直PQ射出，则电子的速率多大？
三 带电粒子在圆形边界磁场中的运动问题
（一）沿径向射入必沿径向射出
例3、如图所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力）从A点以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并从B点射出，若∠AOB＝120°，则该带电粒子在磁场中运动的时间为（ ）
A． B． C． D．
变式2、如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角．现将带电粒子的速度变为，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为（ ）
A．Δt B．2Δt C．Δt D．3Δt
（二）射入方向不沿径向
例4、（2016年全国新课标II卷）一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔．筒绕其中心轴以角速度顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成角．当筒转过时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )
A． B． C． D．
变式3、（2013·新课标Ⅰ·18）如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q（q>0）、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）( )
A． B． C． D．
（三）磁发散和磁聚焦
当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象．即当粒子由圆形磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场，如图甲所示；当粒子平行射入磁场中，会在圆形磁场中汇聚于圆上一点，如图乙所示
甲 乙
例5、（多选）如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场射入大量带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m．不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力，关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（ ）
A．只要对着圆心入射，出射后均可能垂直打在MN上
B．只要是对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线也一定过圆心
C．只要速度满足v＝，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
D．对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的弧长越长，时间也
变式4、如图所示，ABCD是边长为a的正方形。质量为m电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场，电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；（2）此匀强磁场区域的最小面积。
A
B
C
D
（四）最长时间
例6、如图所示，在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内有匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁感应强度B＝0.2 T，一个带正电的粒子以初速度v0＝1.2×106 m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场（图中未画出初速度方向），已知该粒子的比荷＝1×108 C/kg，不计粒子重力．
（1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；
（2）若要使粒子在磁场中运动的时间最长，求入射时v0与ab的夹角θ及粒子在磁场中的运动的时间。
类型四 其他有界磁场
例7、如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则( )
A．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2 B．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1
C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1 D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2
变式6、如图所示，长方形abcd长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B＝0.25 T。一群不计重力、质量m＝3×10－7 kg、电荷量q＝＋2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×102 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则( )
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边
D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和bc边
考点二 洛伦兹力与电场力的比较
1．洛伦兹力与电场力的比较
对应力
内容
项目
洛伦兹力
电场力
性质
磁场对在其中运动电荷的作用力
电场对放入其中电荷的作用力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电场中的电荷一定受到电场力作用
大小
F＝qvB（v⊥B）
F＝qE
力方向与场
方向的关系
一定是F⊥B，F⊥v，与电荷电性无关
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
力为零时
场的情况
F为零，B不一定为零
F为零，E一定为零
作用效果
只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向
例9、在如图所示宽度范围内，用场强为E的匀强电场可使初速度是v0的某种正粒子偏转θ角．在同样宽度范围内，若改用方向垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），使该粒子穿过该区域，并使偏转角也为θ（不计粒子的重力），问：
（1）匀强磁场的磁感应强度是多大？（2）粒子穿过电场和磁场的时间之比是多大？
【能力展示】
【小试牛刀】
1．质量分别为m1和m2、电荷量分别为q1和q2的两粒子在同一匀强磁场中做匀速圆周运动．已知两粒子的动量大小相等．下列说法正确的是（ ）
A．若m1≠m2，则它们做圆周运动的周期一定不相等
B．若q1≠q2，则它们做圆周运动的周期一定不相等
C．若m1＝m2，则它们做圆周运动的半径一定相等
D．若q1＝q2，则它们做圆周运动的半径一定相等
2．处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动．将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值（ ）
A．与粒子电荷量成正比 B．与粒子速率成正比
C．与粒子质量成正比 D．与磁感应强度成正比
3．（多选）如图所示，平面直角坐标系的第Ⅰ象限内有一匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的粒子以速度v从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点时速度方向与x轴的正方向相同，不计粒子的重力，则（ ）
A．该粒子带正电 B．A点与x轴的距离为
C．粒子由O到A经历时间t＝ D．运动过程中粒子的速度不变
4．（多选）如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直于纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，L）．一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向的夹角为60°。下列说法中正确的是( )
A．电子在磁场中运动的时间为 B．电子在磁场中运动的时间为
C．磁场区域的圆心坐标(，) D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为（0，－2L）
5．（多选）空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力．下列说法正确的是（ ）
A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同
B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同
C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同
D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大
6．如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为( )
A
B
v0
C
A．B> B．B< C．B> D．B<
7．如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（0＜θ＜π）以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）。则下列说法正确的是( )
A．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远
C．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
8．如图所示，一半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m，电荷量为q的正电荷（重力忽略不计）以速度v沿正对着圆心O的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角．磁场的磁感应强度大小为( )
A． B． C． D．
【大显身手】
9．（多选）如图所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界．一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场．若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A点．下列说法正确的有（ ）
A．若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0
B．若粒子落在A点的右侧，其速度一定大于v0
C．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能小于v0－
D．若粒子落在A点左右两侧d的范围内，其速度不可能大于v0＋
10．（多选）如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd，e是ad的中点，f是cd的中点，如果在a点沿对角线方向以速度v射入一带负电的带电粒子，恰好从e点射出，则（ ）
A．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f点射出
B．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d点射出
C．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，也将从d点射出
D．只改变粒子的速度使其分别从e、d、f点射出时，从f点射出所用的时间最短
11．（多选）某空间存在着如图甲所示的足够大的沿水平方向的匀强磁场．在磁场中A、B两个物块叠放在一起，置于光滑水平面上，物块A带正电，物块B不带电且表面绝缘．在t1＝0时刻，水平恒力F作用在物块B上，物块A、B由静止开始做加速度相同的运动．在A、B一起向左运动的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．图乙可以反映A所受洛仑兹力大小随时间t变化的关系
B．图乙可以反映A对B的摩擦力大小随时间t变化的关系
C．图乙可以反映A对B的压力大小随时间t变化的关系
D．图乙可以反映B对地面压力大小随时间t变化的关系
12．（多选）如图所示，O点有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，它们的速度大小相等、速度方向均在xOy平面内．在直线x＝a与x＝2a之间存在垂直于xOy平面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，与y轴正方向成60°角发射的粒子恰好垂直于磁场右边界射出．不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．关于这些粒子的运动，下列说法正确的是（ ）
A．粒子的速度大小为
B．粒子的速度大小为
C．与y轴正方向成120°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长
D．与y轴正方向成90°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长
13．（多选）如图所示，xOy平面的一、二、三象限内存在垂直纸面向外，磁感应强度B＝1 T的匀强磁场，ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为9 m，M点为x轴正方向上一点，OM＝3 m。现有一个比荷大小为＝1.0 C/kg可视为质点带正电的小球（重力不计）从挡板下端N处小孔以不同的速度向x轴负方向射入磁场，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，小球最后都能经过M点，则小球射入的速度大小可能是( )
A．4 m/s B．3.75 m/s C．3 m/s D．5 m/s
14．（多选）如图所示，一个绝缘且内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的内径大得多），在圆管的最低点有一个直径略小于细管内径的带正电小球处于静止状态，小球的质量为m，带电荷量为q，重力加速度为g．空间存在一磁感应强度大小未知（不为零），方向垂直于环形细圆管所在平面且向里的匀强磁场．某时刻，给小球一方向水平向右、大小为v0＝的初速度，则以下判断正确的是( )
A．无论磁感应强度大小如何，获得初速度后的瞬间，小球在最低点一定受到管壁的弹力作用
B．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细圆管的最高点，且小球在最高点一定受到管壁的弹力作用
C．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细圆管的最高点，且小球到达最高点时的速度大小都相同
D．小球在环形细圆管的最低点运动到所能到达的最高点的过程中，水平方向分速度的大小一直减小
15．如图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是（其中B0＝，A、C、D选项中曲线均为半径是L的圆弧，B选项中曲线为半径是的圆） ( )
第2讲 磁场对运动电荷的作用答案
例5、C选项解析：设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，
由牛顿第二定律得Bqv0＝m 得：r＝R
设粒子射入方向与PO方向之间的夹角为θ，带电粒子从区域边界S射出，带电粒子的运动轨迹如图所示．
因PO3＝O3S＝PO＝SO＝R，所以四边形POSO3为菱形
由图可知：PO∥O3S，v0′⊥SO3，故v0′⊥PO
因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关．
变式4、解析：（1）由圆周运动的特点可知，从C点入射的电子，只有立即进入磁场，才能由A点离开磁场．设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的洛伦兹力大小：F洛＝ev0B ①
方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在CB边或其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a
由洛伦兹力提供向心力得： F洛＝m ②
联立①②式得：B＝ ③
A
B
C
D
E
F
p
q
O
θ
（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为θ（不妨设0≤θ≤）的情形。该电子的运动轨迹qpA如图所示。图中，圆的圆心为O，pq垂直于BC边 ，由③式知，圆弧的半径仍为a，在D为原点、DC为x轴，AD为y轴的坐标系中，P点的坐标(x，y)为
x＝asinθ ④
y=-[a-(a-acosθ)]= -acosθ ⑤
这意味着，在范围0≤θ≤内，p点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为S＝2(πa2－a2)＝a2
例8、；
变式7、（1）t＝（2）v＝（n＝1、2、3……）
例9、（1） （2）
【能力展示】
1．D 2．D 3．BC 4．BC 5．BD 6．D 7．A 8．B 9．BC 10．BD
11．D 12．BC 13．BCD 14．BC 15．A
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