四川省内江市资中县第二中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上.
2.选择题作答时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其他答案标号.
3.非选择题作答时，用黑色签字笔将答案书写在答题卡上对应的答题区域内.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题或超出答题区域书写无效.
5.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.
一､单选题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解.
【详解】由题意 ，所以 .
故选：C.
2. 已知命题 ， ，则命题 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
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【详解】命题 ， 为全称量词命题，
其否定为： ， .
故选：C
3. 若 ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将所求变形为 ，再根据基本不等式即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为 .
故选：C.
4. 设 ,则“ ”是“ 且 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为， 且 能推出 ；
不能推出 且 ，（如 ），
所以，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件，
故选 B．
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定
理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，
还可转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理．
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5. 已知命题 ， ，命题 ， ，则（ ）
A. 和 都 真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】判断出 、 的真假，即可得出结论.
【详解】对于命题 ，不妨取 ，则 ，则命题 为假命题，
对于命题 ，由 可得 或 ，则命题 为真命题，
因此， 和 都是真命题.
故选：B.
6. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分 和 两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】当 时，不等式 恒成立，
当 时， ，解得： ，
综上： 的取值范围是： .
故选：D.
7. 已知集合 ， ， 中有且只有一个整数
解，则 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】求出集合 A，B，利用 中有且只有一个整数解，能求出 a 的取值范围．
【详解】解：∵ ，解得 或 ；由 ， ，即
，解得 ；
所以集合 或 ，
，
中有且只有一个整数解，∴ ．∴a 的取值范围是 ．
故选：B．
8. 设集合 ，若非空集合 同时满足：① ；② (其中 表示
中元素的个数， 表示集合 中最小的元素)，称集合 为 的一个“好子集”，则 的所有“好子
集”的个数为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】结合“好子集”的定义，分 三种情况即可.
【详解】当 ，即集合 中元素的个数为 1 时， 的可能情况为 , , , ；
当 ，即集合 中元素 个数为 2 时， 的可能情况为 , , ；
当 ，即集合 中元素的个数为 3 时， 的可能情况为 ，
综上所述， 的所有“好子集”的个数为 8.
故选：B
二､多项选择题：本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列选项正确 有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
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【分析】根据集合与元素的关系，结合常见数集判断各选项即可.
【详解】因为 N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，
所以 ， ， ， .
故选：BCD.
10. 已知 均为实数，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ，
【答案】AB
【解析】
【分析】结合不等式的性质逐项分析即可.
【详解】选项 A，若 ，则 ， ，即 ，选项 A 正确；
选项 B，若 ， ，则 ， ， ，即 ，选项 B 正确；
选项 C，若 ， ，取 ， ， ， ，则 ， ， ，选项 C 错误；
选项 D，若 ， ，则 ，选项 D 错误.
故选：AB.
11. 已知实数 a，b 满足 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 若 ，则
B. 的最小值为 2
C. 若 ，则
D. 若 ，则 的最小值为 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】参数分离结合不等式的性质判断 A；举反例 判断 B；由换元法结合基本不等式判断 C；
由 ，并运用两次基本不等式判断 D.
【详解】对于选项 A，由 ， ，得 ，解得 ，A 正确.
对于选项 B，取 ，满足 ，此时 ，B 不正确.
对于选项 C，由 ，得 ，取 ， ，
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则 ，由 ，得 ，则 ，则 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，从而 ，C 正确.
对于选项 D，由 ，得 ，
则 .
因为
，当且仅当 ，
即 时，等号成立，
所以 的最小值为 1，D 正确.
故选：ACD
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知集合 ， ，若 ，则 ______
【答案】6
【解析】
【分析】根据集合元素的性质可求 的值，即可解答.
【详解】因为 ，故 ，故 ，
故答案为：6
13. 已知 ，且 ，则 的最小值是__________.
【答案】 ##0.5
【解析】
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【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
即 的最小值是 .
故答案为： .
14. 已知有限集合 ，定义集合 中的元素个数为集合
的“容量”，记为 ．若集合 ，则 ______；若集合
，且 ，则正整数 的值是______．
【答案】 ①. 5 ②. 2025
【解析】
【分析】第一空：由所给定义得到集合 B，从而得到 ；第二空：由集合 A 中元素确定集合 B 中元素
的最大值和最小值，从而得出 的表达式，解方程可得．
【详解】第一空：因为 ，
所以 ，所以 ，
第二空：因为 ，
易知集合 A 中任意两个元素的和最小值是 ，最大值是 ，
且对任意 ， ，都存在 ， ，使得 ，
所以 ，
由 ，解得 ．
故答案为：5；2025．
四､解答题：本题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， ， ，
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（1）求 ， .
（2）求 .
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）先解不等式求集合 ，再利用集合的运算法则计算即可；
（2）利用集合的运算法则计算即可.
【小问 1 详解】
解不等式 得 ： ，故 ，
解不等式 得 ： ，故 ，
考虑二次函数 ，
判别式 ，
且二次项系数 ，故 恒成立，
即不等式对所有实数 成立，因此 .
，
.
【小问 2 详解】
，
.
16. 已知关于 的不等式 的解集为 或 .
（1）求 a，b 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集.
【答案】（1） ；
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（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将不等式的解集转化为方程的两个根，结合韦达定理求出 a，b 的值；
（2）在（1）的前提下，对不等式变形为 ，对 分类讨论，求解不等式的解集.
小问 1 详解】
易知 ，
由题意得 b，3 是关于 的方程 的两个不相等的实数根，
所以 ，
解得： ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
当 时，不等式无解；
当 时，解得： ；
当 时，解得： .
综上，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
17. 已知集合 ， ．
（1）若集合 B 满足 且 ，求实数 m 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1） 或 ；
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（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）解分式不等式确定集合 ，然后根据空集的定义、交集的结论求解；
（2）由题意得 ，然后对 按是否为空集分类讨论求解．
【小问 1 详解】
由已知 可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
当 时， 或 ，
所以 或 ，
∴m 的取值范围为 或 ；
【小问 2 详解】
因为 是 必要不充分条件，所以 ，
①当 B 为空集时， ，即 ，原命题成立；
②当 B 不是空集时，所以 ，解得 ，满足题意．
综上①②，m 的取值范围为 或 ．
18. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年
年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为 50
万元．若该设备使用 x 年，则其所需维修保养费用 x 年来的总和为 万元（2019 年为第一年），
设该设备产生的盈利总额（纯利润）为 y 万元．
（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为 30 万元．
（2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以 30 万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）
②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备．
试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由．
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【答案】（1） ，从第 3 年开始该设备开始全年盈利；
（2）方案①比较合理，理由见解析
【解析】
【分析】（1）确定 ，再解方程即可.
（2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案.
【小问 1 详解】
，
解方程 ，得 或 ，
故在第 4 年或 16 年盈利总额为 30 万元；
【小问 2 详解】
① ，
当且仅当 时，即 时等号成立.
到 2025 年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利 万元.
② ，当 时， .
故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元.
因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理.
19. 法国数学家佛郎索瓦·韦达于 1615 年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由
于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于
一元二次方程 ，它的两根 、 有如下关系： ， ．”韦达定理
还有逆定理，它的内容为：“如果两数 和 满足如下关系： ， ，那么这两个数 和
是方程 的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造
一元二次方程，例如： ， ，那么 m 和 n 是方程 的两根．请应用上述材料
解决以下问题：
（1）已知 m、n 是两个不相等的实数，且满足 ， ，求 的值；
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（2）已知实数 x、y 满足 ， ，求 的值；
（3）已知 ， 是关于 x 的一元二次方程 的两个实根，且 ，求使 的
值为整数的所有 k 的值．
【答案】（1）
（2）22 或 37． （3） ， ， ．
【解析】
【分析】（1）由题意，可把 看作 的根，利用韦达定理求解即可；
（2）由韦达定理的逆定理，可将 ， 看作方程 的两个实数根，求解后即可得解；
（3）由韦达定理求出 ， ，代入化简求出 得解.
【小问 1 详解】
由已知 ， ， ，
可将 m，n 看作方程 的两个不相等的实数根，
由韦达定理可得， ， ，
所以 ．
【小问 2 详解】
由 ， ，
可将 ， 看作方程 的两个实数根，
则有 ， 或 ， ，
①当 ， 时， ；
②当 ， 时， ，
所以 的值为 22 或 37．
【小问 3 详解】
由韦达定理，可得 ， ， ，
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且 ，解得 ，
故 ，
因 ，又 ，故 必为 的因数，
则 的值可能为 ， ， ，1，2，4，
则实数 k 的值可能为 ， ， ，0，1，3，
又 ，故 k 的所有取值为 ， ， ．
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