2023内江资中县二中高一上学期10月月考数学试题含解析

资中二中高2025届第一学期10月月考

数学试卷

一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由交集、补集的定义，直接求解.

【详解】，，则，

全集，则

故选：D

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.

【详解】由推不出，反之，由可以推出

所以“”是“”的必要不充分条件

故选：B

【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.

3. 已知集合，，则集合的真子集个数为（    ）

A. 7 B. 8 C. 5 D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】由A、B可以得到集合，确定集合的元素个数，代入公式即可得到集合的真子集个数．

【详解】因为集合，，

所以集合，，，

所以集合有3个元素，集合真子集个数为个．

故选：A

4. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；

【详解】解：命题“，”为存在量词命题，其否定为：，；

故选：C

5. 若，则有（    ）

A. 最小值1 B. 最小值2 C. 最大值1 D. 最大值2

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】解：∵，

∴，

当且仅当，时取等号．

因此的最小值为2．

故选：B．

6. 不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先利用一元二次不等式解不等式，再根据充分、必要条件的定义分析判断.

【详解】∵，解得，即不等式的解集为.

由题意可得：选项对应的集合为的真子集，

对A：，即是的必要不充分条件，A错误；

对B：，即是的充要分条件，B错误；

对C：，即是的充分不必要分条件， C正确；

对D：与不存在包含关系，即是的既不充分也不必要分条件，D错误；

故选：C.

7. 已知一元二次不等式kx2 -x+1<0的解集为{x|a<x <b} ，则2a +b的最小值是（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知得a，b是方程的两个根，得出根与系数的关系， ，再运用基本不等式可求得答案.

【详解】解：因为一元二次不等式kx2 -x+1<0的解集为{x|a<x <b} ，所以a，b是方程的两个根，

所以，且，所以，且，所以，

所以，当且仅当，即时，取等号，

所以2a +b的最小值是.

故选：C.

8. 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（    ）

A. 120 B. 144 C. 177 D. 192

【答案】B

【解析】

【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解.

【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，

则，，

不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为，

即，

，

由容斥原理：

，

解得：，

故选：B.

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列选项正确的有（    ）

A.  B.  C. 0 D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据常见集合的意义和元素的性质可判断各选项中的属于关系是否成立，从而可得正确的选项.

【详解】因为为无理数，故，故A正确.

因为为有理数，故，故B正确.

因为为正整数集，但，故C不正确.

因为，故，故D成立.

故选：ABD.

【点睛】本题考查常见集合的表示，注意正确区分各字母表示的常见集合，不要混淆，本题属于基础题.

10. 下列命题中，真命题的是（    ）

A. 若，则

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，，则

【答案】BD

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.

【详解】对于A，若，则不成立，故错误，

对于B,由，得，，因此可得，故B正确，

对于C,若，则，因此C错误，

对于D, 由得，所以，D正确，

故选：BD

11. 下列说法正确的有（    ）．

A. 若，则的最大值是

B. 若，则的最小值为2

C. 若均为正实数，且，则的最小值是4

D. 已知，，且，则最小值是

【答案】AD

【解析】

【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．

【详解】对于A，，则且，

，当且仅当时取等号，的最大值为，故A正确；

对于B，，当且仅当时等号成立，但此时无解，则最小值不2，故B错误；

对于C，，

，

当且仅当且，即时，等号成立，

由于均为正实数，则等号取不到，故C错误；

对于D，，，

，

当且仅当即时，等号成立，故D正确．

故选：AD．

12. 设集合X是实数集R的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合X的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】逐一分析四个集合中元素的性质，判断是否满足集合的聚点的定义，进而得到答案．

【详解】对于选项A：对于任意，显然，使得，即0为集合的聚点，故A正确；

对于选项B：对于任意，不妨令，因为，即，所以在集合中不存在满足，故B错误；

对于选项C：对于任意，存在且，即且时，使得，即0为集合聚点，故C正确；

对于选项D：对于任意，不妨令，由，得且，即且，则且，显然不成立，故D错误.

故选：AC.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知集合，，若，则_______．

【答案】5

【解析】

【分析】由集合的性质，即元素的无序性和互异性可得，得.

【详解】根据集合的元素具有无序性和互异性可得，，所以.

故答案为：5.

【点睛】（1）集合充要条件是，且；

（2）集合由三个性质：确定性，互异性和无序性.

14. 若集合中只有一个元素，则_________.

【答案】0或1##1或0

【解析】

【分析】根据给定条件结合方程类型及其根的特征列式计算作答.

【详解】因集合中只有一个元素，

则当时，方程为，解得，即集合，则，

当时，由，解得，集合，则，

所以或.

故答案为：0或1

15. 定义新运算“”，满足对任意的，有．若对，恒成立，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】将化简得，转化为不等式恒成立问题求解.

【详解】由得，，化简得对恒成立，

当时，成立；

当时，满足 ，即；

故实数m的取值范围是.

故答案为：.

16. 已知a＞b＞0，且a＋b＝1，则的最小值为______．

【答案】12

【解析】

【分析】两次利用基本不等式求最值即可.

【详解】∵a＞b＞0，且a＋b＝1，

∴，

当且仅当且，即时，等号同时取到，

故答案：12

四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知集合，，求：

（1），；

（2）．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简集合，然后根据集合的交集和并集的运算即可；

（2）根据补集的定义算出，再根据交集的定义运算即可

【小问1详解】

因为，，

所以，；

【小问2详解】

因为，

所以或，

所以

18. 已知不等式的解集为．

（1）求实数a，b的值；

（2）若，，且，证明：．

【答案】（1），   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据不等式的解集可知对应方程的根，由根与系数的关系求解；

（2）由（1）可知，则，再由均值不等式即可得出答案.

【小问1详解】

因为关于x的不等式的解集是，

所以1和3是方程的两个根，且，

所以，解得，

当，时，的解集是，符合题意，

所以，．

【小问2详解】

由（1）知，，所以，

又，，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为3．

19. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失，为降低疫情影响，缓解市民吃肉难的问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输过程中损耗费（单位：元）是汽车速度（单位：千米/时）值的2倍．

（说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费）

（1）写出运输总费用y元与汽车速度x km/h的函数关系，并求运输的总费用y不超过1260元，汽车行驶速度x的范围；

（2）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？

【答案】（1）；汽车行驶速度的范围为：   

（2）汽车应以每小时60千米的速度行驶

【解析】

【分析】（1）由题意列不等式求解，

（2）由基本不等式求解，

【小问1详解】

∴，化简得，

解得：，

∴运输的总费用不超过1260元，汽车行驶速度的范围为：．

【小问2详解】

，

当且仅当，即时取得等号，

∴若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶．

20. 已知集合，．

（1）若集合B满足且，求实数m的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1）或；   

（2）或．

【解析】

【分析】（1）解分式不等式确定集合，然后根据空集的定义、交集的结论求解；

（2）由题意得，然后对按是否为空集分类讨论求解．

【小问1详解】

由已知可得，

因为，所以，即，

当时，或，

所以或，

∴m的取值范围为或；

【小问2详解】

因为是的必要不充分条件，所以，

①当B为空集时，，即，原命题成立；

②当B不是空集时，所以，解得，满足题意．

综上①②，m的取值范围为或．

21. 已知函数．

（1）当，时，若“，”为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若，，解关于x的不等式．

【答案】（1）；   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）将，代入函数，并结合题意可转化成方程在上有解，分和两种情况进行讨论即可得到答案；

（2）将，代入函数，分，，，，五种情况进行讨论，即可得到对应解集

【小问1详解】

当，时，，

因为“，使得”为真命题，即方程在上有解，

当时，，即，符合题意；

当时，解得，符合题意，

综上所述，实数的取值范围为；

【小问2详解】

当，时，

原不等式即为，

①当时，则，解得，

故不等式的解集为；

②当时，，解原不等式可得，

此时原不等式的解集为；

③当时，，解原不等式可得或，

此时，原不等式的解集为或；

④当时，原不等式即为，解得，

此时，原不等式的解集为；

⑤当时，，解原不等式可得或，

此时，原不等式的解集为或；

综上所述，当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为．

【点睛】方法点睛：对含参一元二次不等式进行求解时，要对参数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照二次函数的开口，根的大小进行分类求解的

22. 若实数x，y，m满足，则称x比y更远离m．

（1）若比更远离1，求实数x的取值范围；

（2）判断是x比y更远离m的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件），并加以证明；

（3）已知，，若，证明：p比更远离．

【答案】（1）   

（2）是x比y更远离m的充分不必要条件；证明见解析   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据定义列不等式，求x的取值范围；(2)根据充分条件和必要条件的定义结合新定义判断即可，(3)根据基本不等式求出的最大值，结合(2)的结论完成证明.

【小问1详解】

由题意可，

即，解得：，

所以实数x的取值范围为；

【小问2详解】

是x比y更远离m的充分不必要条件

①已知，则，

可得，即，

所以是x比y更远离m的充分条件．

②已知x比y更远离m，则

举例：，，，满足，但不满足，

所以不是x比y更远离m的必要条件．

综上：是x比y更远离m的充分不必要条件．

【小问3详解】

证明：因为，

，

当且仅当，即时，等号成立，

因，

由（2）可知p比更远离，即得证．