云南省红河哈尼族彝族自治州个旧市中央民族大学附属中学红河州实验学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份云南省红河哈尼族彝族自治州个旧市中央民族大学附属中学红河州实验学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题，共18页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，下列命题正确的是，已知圆O等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则的最小值是（ ）
A．12B．8C．6D．4
4．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．、
5．若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点P在直线上,,则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
7．在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“的否定是：”
C．若，则
D．若，则
10．已知圆O：与圆C：交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段AB的垂直平分线所在的直线方程为
B．直线AB的方程为
C．
D．若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为
11．已知定义在上的函数满足：，且当时，，若，则（ ）
A．
B．在上单调递减
C．不等式的解集是
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，，则 .
13．如图，在三棱锥中，平面BCD，，，，则该棱锥的外接球的表面积为 ．
14．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求的大小；
(2)为边的中点，且，求的长．
16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，，为的中点，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成的角的正弦值.
17.（15分）已知椭圆，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点.
(1)若，求直线的斜率；
(2)求面积的最大值.
18．（17分）甲､乙､丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲､乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙､丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，任意两次射击互不影响.
(1)分别计算乙，丙两人各射击一次且击中目标的概率；
(2)求甲､乙､丙各射击一次且恰有一人击中目标的概率；
(3)若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次？（参考数据）
19．（17分）平面直角坐标系中，已知点，圆与x轴的正半轴的交于点Q．
（1）若过点P的直线与圆O相切，求直线的方程；
（2）若过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B．
①设线段的中点为M，求点M纵坐标的最小值；
②设直线，的斜率分别是，，问：是否为定值，若是，则求出定值，若不是，请说明理由．
参考答案
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合一元二次不等式解法化简集合，根据并集的定义求结论.
【详解】不等式的解集为，
所以，又，
所以.
故选：C.
2．若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出，可得，最后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，将复数化简成的形式，即可得到复数的虚部.
【详解】由于，所以
故复数的虚部是，
故选：A
【点睛】关键点点睛：该题考查复数模的公式，复数代数形式的乘除法，复数的基本概念，若，其中为复数的实部，为虚部，正确解题的关键是熟练掌握有关概念和运算公式．
3．已知，则的最小值是（ ）
A．12B．8C．6D．4
【答案】A
【分析】变形得，利用基本不等式求解.
【详解】∵，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值是12．
故选：A．
4．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件得出，再利用公式可求出椭圆的离心率.
【详解】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍，则，即，
故椭圆的离心率为.
故选：C.
5. 若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将平方化简求出，再利用公式求解即可.
【详解】因，
则，
则，
在方向上的投影向量为.
故选：B
6．已知点P在直线上,,则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【分析】过点做关于直线的对称点,求出点坐标,则直线是线段的垂直平分线,则,的值即为所求.
【详解】解:由题知,过点做关于直线的对称点,
取直线上一点,连接,
连接交于点,连接,如图所示:
则有,解得,即,
因为关于直线对称,
所以直线是线段的垂直平分线,
所以,则,
当且仅当点运动到处时,
所以.
故选:D.
7．在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，，得（或其补角）即为与所成的角，根据已知及余弦定理求夹角余弦值.
【详解】取的中点，连接，，
因为，所以（或其补角）即为与所成的角，
因为，，，
所以，
即与所成角的余弦值为.
故选：C
8．已知函数，，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由的范围求出的范围，又由是单调增或减区间的子区间列不等式可解.
【详解】函数，，
函数在上单调递减，所以，
又，则，解得．
当时，，
当在上单调递减时，，，
解得，
当时，.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“的否定是：”
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【详解】对于A，若，则；反之，若，则或，
因此“”是“”的充分不必要条件，A错误；
对于B，命题“的否定是：”，B正确；
对于C，当时，，C错误；
对于D，因为，若，则由不等式的性质可知，D正确.
故选：BD
10．已知圆O：与圆C：交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段AB的垂直平分线所在的直线方程为
B．直线AB的方程为
C．
D．若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据相交圆的公共弦与两圆心连线垂直平分判断A，再由两圆方程作差得公共弦所在直线判断B，根据弦心距、半径、半弦长关系求弦长判断C，再由圆上点到直线的最大距离为圆心到直线距离加半径长判断D.
【详解】由圆C：知圆心为，
所以直线OC的方程为，即，
所以线段AB的垂直平分线所在的直线方程为，故A正确；
因为圆O：与圆C：，两圆方程作差，
可得直线AB的方程为，故B正确；
点O到直线AB的距离，所以，故C错误；
点到直线的距离的最大值为，则面积的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
11．已知定义在上的函数满足：，且当时，，若，则（ ）
A．
B．在上单调递减
C．不等式的解集是
D．
【答案】AC
【分析】令，判断A；利用函数单调性定义可判断出在上单调递增，判断B；利用题中条件变形不等式，利用函数单调性转化不等式，解出即可判断C；，求和判断D.
【详解】对于，令，得，即，正确；
对B，根据题意，，
对任意，则，
所以，即，
所以在上单调递增，B错误；
对于，又，
所以原不等式等价于，
因为在上单调递增，所以，解得正确.
根据，则，
，
，D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：选项B，，根据单调性定义判断.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，，则 .
【答案】
【分析】利用余弦差公式将已知条件展开，结合，求得，再利用正弦二倍角公式，将展开，代入即可求解.
【详解】因为，而，
所以，
所以.
故答案为：.
13．如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为 ．

【答案】
【分析】先展开平面图，根据最短距离，利用余弦定理求得，然后将该棱锥补成一个长方体求得其外接球的半径，进而代入球的表面积公式求解即可.
【详解】三棱锥的部分平面展开图如图所示：

设，由题意得：，，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
解得或（舍去），如图所示：

该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径为：，
所以该棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
14．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，且△的面积为，则椭圆的方程为 ．
【答案】
【分析】由、及椭圆定义，可得，，，，再由余弦定理可得，又三角形的面积为，可求得，进而求出椭圆方程.
【详解】设，则，
所以，又，
所以，
又，所以，
所以，，，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，又三角形的面积为，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以椭圆的方程为．
故答案为：．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，内角的对边分别为，且．
(1)求的大小；
(2)为边的中点，且，求的长．
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和正弦公式即可求解；
（2）利用中线向量公式，结合向量的数量积运算即可求解.
【详解】（1）由正弦定理边化角可得：，
再利用三角形内角和可知：，
所以有，
整理得：，在三角形中，
所以有，
又因为，所以；
（2）
由中线向量可得：，
则，
所以.
16．【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图，
为中点，
，
，，
，确定平面，
又平面，平面平面，
，
平面，平面，
，
，，，，
平面，
平面，
平面，
平面平面.
（2）平面，平面，
，
由（1）是平行四边形，则，
以为原点，，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，
，，，
，，
设平面的法向量为，平面与平面所成的角为，
则令，则，
又平面的一个法向量为，
，
，
平面与平面所成的角的正弦值是.
17．已知椭圆，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点.
(1)若，求直线的斜率；
(2)求面积的最大值.
【详解】（1）由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为.
由，消得，，
设，，则，，
，
，
，，
因为，所以，
即，所以，
即，整理得到，解得.
所以直线的斜率为.
（2）由（1）得，所以的中点的纵坐标为，
所以的面积，
当且仅当时，的面积最大值为.

18.【详解】（1）令甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件，
所以，所以，
，所以，
所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为；
（2）令甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件，
所以
，
所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；
（3）设甲射击次数，则至少有一次击中目标的概率为，
令，
所以，
又为正整数，所以，即甲至少要射击次.
19．【详解】（1）圆的圆心为，半径为2，
若过点直线垂直于x轴，则方程为，与圆相切，符合题意；
若过点直线不垂直于x轴，设直线的斜率与k，
则直线方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以切线方程为；
综上得：切线的方程为和；
（2）①设点，因为M为弦中点，所以，
又因为，，
所以由得化简得．
联立得或；
又因为点M在圆内部，
所以点M的轨迹是圆中以点和为端点的一段劣弧（不包括端点），
由即，令得，
根据点在内部，所以点M纵坐标的最小值是；
②由题意点,
联立得，
设，则，
所以
．
所以是定值，定值为．