云南省中央民族大学附属中学红河州实验学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

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1．已知集合，，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接根据交集的概念运算可得结果.
【详解】因为，，
所以.
故选：C
2．“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可．
【详解】若，则，故充分性成立，
若，则或，故必要性不成立，
“”是“”的充分不必要条件.
故选：．
3．已知命题：有些无理数不是实数，则为（ ）
A．有些无理数是实数B．无理数都不是实数
C．无理数不都是实数D．无理数都是实数
【答案】D
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得出答案.
【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题．
因为命题：有些无理数不是实数，
所以为：无理数都是实数.
故选：D.
4．给出下列结论:
①两个实数,之间,有且只有,,三种关系中的一种;②若,则;③若,;④已知,则.
其中正确结论的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可
【详解】两个实数a,b之间,有且只有三种关系中的一种,所以①正确
,则,即或,所以②错误
因为,所以,即,即,所以③正确
因为,所以,所以④正确.
即正确结论的个数为3
故选：C
5．若函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【分析】依题意恒成立，分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：因为函数的定义域为，所以恒成立，
当时显然恒成立，
当，则，解得，
综上可得；
故选：B
6．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定的函数，借助二次函数分段讨论其单调性作答.
【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，则函数在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A
7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C． 或D．或
【答案】C
【分析】由题意知1和3为方程的两个根，由韦达定理可得，，且，则不等式等价于，即，由此即可写出答案.
【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以1和3为方程的两个根，
由韦达定理有：，
所以，，且，
则，等价于，即，
故不等式的解集为.
故选：C.
8．函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，则，
当且仅当即时等号成立，
则的最大值为则.
故选：C.
多选题
9．已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】CD
【分析】由题意可知函数在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答案.
【详解】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减，
则，即，可得，
结合选项可知AB错误，CD正确.
故选：CD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值为6
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．幂函数在上为减函数，则的值为2
D．若不等式的解集为或，则
【答案】BD
【分析】对A，运用对勾函数的性质即可判断，对B利用抽象函数定义域求法即可判断，对C利用幂函数的特点和单调性即可判断，对D利用一元二次不等式的解集和韦达定理即可判断.
【详解】对于A，令，则 ， 是对勾函数，且在内单调递增，
当时，，
所以fx的最小值为 ，故A错误；
对于B，，，则函数的定义域为，故B正确；
对于C， ，且，解得 ，故C错误；
对于D，依题意，方程 的两个解是 或 ，并且，
由韦达定理： ， ， ，D正确；
故选：BD.
11．设是定义在上的奇函数且在上单调递减，，则（ ）
A．在上单调递减B．
C．不等式的解集为D．的图象与轴只有2个公共点
【答案】AC
【分析】根据奇函数特征，画出的大致图象，结合图象分析四个选项.
【详解】
对于A，因为是定义在上的奇函数且在上单调递减，，
根据奇函数特征，所以在上单调递减，，，
故A正确；
对于B，画出大致图象如图，根据图象可知，故B错误；
对于C，如图可知，不等式的解集为，故C正确；
对于D，的图象与轴只有3个公共点，分别是，，，故D错误，
故选：AC.
三．填空题
12．若幂函数的图象过点，则___________.
【答案】27
【分析】代入已知点坐标求出幂函数解析式即可求,
【详解】设代入，即，所以，所以.
故答案为：27.
13．已知，，若，则的最小值为____________．
【答案】8
【分析】由基本不等式求得最小值．
【详解】因为，，，
所以，当且仅当即时等号成立，
故答案为：8.
14．已知函数在上有定义，且.若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是______.
【答案】
【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，则可解出答案.
【详解】因为对任意给定的实数，恒有，
即成立，
所以函数在上单调递减，又，
所以不等式等价于
或，
等价于或，
解得：，
所以不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题
15．已知函数．
(1)求，；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的图象．
【答案】(1)，
(2)或或
(3)答案见解析
【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得；
（3）根据函数解析式，画出函数图象即可；
（1）
解：因为
所以，，
．
（2）
解：当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上所述，的值为或或．
（3）
解：函数的图象，如图所示：
16．已知函数.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断当时函数的单调性，并用定义证明；
(3)若定义域为，解不等式.
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）判断函数的奇偶性只要用定义的方法即可；
（2）题意很明确，不得用导数，用定义，做差即可；
（3）解函数不等式，必须要用函数的基本性质即单调性和奇偶性.
(1)
函数为奇函数．证明如下：
定义域为
又
为奇函数
(2)
函数在（-1，1）为单调增函数．证明如下：
任取，则
，即，，
∴ ，；
即
故在（-1，1）上为增函数
(3)
由（1）、（2）可得
则
解得：
所以，原不等式的解集为.
17．己知函数在上有定义，且满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若，对均有成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)换元法和配凑法可求函数解析式.
(2)依题意，，设，则在区间内恒成立，用一次函数性质求解.
（1）
，
∴，
又∵，
∴.
（2）
，对均有成立，
在上单调递增，，
依题意有对均有成立，
即在时恒成立，
∴，解得，∴实数m的取值范围是.
18．已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，得到函数在区间为单调递增函数，即求解.
（2）根据函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，将不等式，转化为求解.
【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且，
所以在区间为单调递增函数，
所以，解得，
由，。
又函数的图像关于轴对称，
所以为偶数，
所以，
所以.
（2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，
所以不等式，等价于，
解得或，
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．
（1）求f(50)的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？
【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．
【分析】（1）由计算可得；
（2）由已知列出函数式，注意定义域，然后换元，化为二次函数，由二次函数知识得最大值．
【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5．
（2）由题知，
f(x)＝80＋4＋ (200－x)＋120
＝－x＋4＋250，
依题意得
解得20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，
y＝－t2＋4t＋250＝－ (t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．