湖南省湘西土家族苗族自治州永顺县第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

这是一份湖南省湘西土家族苗族自治州永顺县第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数Z满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为( )
A. 1B. C. 2D.
4.如图，已知圆锥的底面直径，母线，过顶点V作平面与底面相交于M，N两点，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
5.在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，，则( )
A. B. C. 或D.
6.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形如图所示，当n越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到的近似值为取近似值
A. B. C. D.
8.已知在中，，点D满足，且，则面积的最大值为( )
A. B. C. 2D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有( )
A.
B. 平面
C. 平面BDP
D. 三棱锥的体积为恒定值
10.函数，下面的结论正确的是( )
A. 函数的图象为中心对称图形B. 存在a，b使得有三个零点
C. 当且仅当时，有零点D. 存在a，b使得有两个零点
11.已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知函数，则函数的最小正周期为______.
13.18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式其中L，N，M，h分别为的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高，我们也称为“万能求积公式”．例如，已知球的半径为R，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为a，高为h，可得该正四棱锥的体积为类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球O的表面积为，若用距离球心O都为2cm的两个平行平面去截球O，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为__________
四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题5分
在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且若，则的取值范围是______.
15.本小题13分
设其中向量，
当时，求函数的值域；
当时，求函数的单调递减区间．
16.本小题15分
如图，在正方体中，S是的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．求证：
直线平面；
平面平面；
若正方体棱长为1，过A，E，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．
17.本小题15分
函数的部分图象如图所示．
求函数解析式；
若，求的值．
18.本小题17分
如图，在梯形ABCD中，，，，点E、F是线段DC上的两个三等分点，点G，点H是线段AB上的两个三等分点，点P是直线BC上的一点.
求的值；
直线AP分别交线段EG、FH于M，N两点，若B、N、D三点在同一直线上，求的值.
19.本小题17分
从①；②；③；
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若_____.
求角B的大小；
求取值范围；
当取得最大值时，在所在平面内取一点与B在AC两侧，使得线段，，求面积的最大值.
注：若选择多个条件，按第一个解答计分
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由，得
，
故选：
直接利用复数代数形式的乘除运算求得，求其共轭复数得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
2.【答案】C
【解析】解：，，，
则，解得，
故
故选：
根据已知条件，结合向量垂直的性质，并将原式弦化切，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：，
，化简得，即，
由余弦定理知，，
，
的面积
故选：
利用正弦定理和余弦定理化简已知等式，可得，再结合余弦定理和基本不等式，推出，从而确定A的范围，最后由，得解．
本题主要考查解三角形，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：如图所示，
由，，所以，
所以；
所以，
所以截面三角形VMN的面积最大值为
故选：
根据题意判断圆锥轴截面的顶角大于，再计算截面三角形面积的最大值．
本题考查了圆锥截面面积的最值计算问题，也考查了转化思想方法，是基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两角和的正弦公式，考查三角函数间的关系与正弦定理的综合应用，属于中档题．
利用两角和的正弦公式将转化为，再利用正弦定理转化即可求得
【解答】
解：在中，
，
，
由正弦定理得：，
，
，，，，
，
，
又知，，显然，，故
由正弦定理得：，
故选：
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查分段函数的应用，主要考查二次不等式的解法，考查基本的运算能力，属于基础题．
由的表达式得到，不等式等价于不等式组或，解出它们，再求并集．
【解答】
解：不等式等价于不等式组或，
即或，
解得或，
故不等式的解集是
故选
7.【答案】B
【解析】解：由题意知圆的半径为，此圆内接正二十边形等分成20个等腰三角形，
则每个等腰三角形的顶角为，选取其中一个小等腰三角形，
过等腰三角形顶点O向底边AB作垂线OC，垂足为C，
延长OC，交圆O于点D，
由三线合一可知：，
，其中，，
，
故选：
圆内接正二十边形等分成20个等腰三角形，得到每个等腰三角形的顶角为，对过等腰三角形顶点O向底边AB作垂线OC，垂足为C，延长OC，交圆O于点D，设半径为1，则，由此能求出的近似值．
本题考查圆内接正二十边形、等腰三角形、扇形性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设，，如图所示：
因为在中，，点D满足，且，
所以，
则，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以
故选：
根据，易得，再两边平方结合基本不等式得到，然后利用三角形的面积公式求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
所以当P为的中点时，才有，所以A错误；
对于B，因为平面平面，平面，
所以面，所以B正确；
对于C，由选项A同理可得，
因为平面BDP，平面BDP，
所以面BDP，所以C正确；
对于D，因为由选项C可知，
因为平面，平面，
所以平面，
所以点P到平面为常数，
因为三角形的面积为常数，
所以为定值，
因为，
所以三棱锥的体积不变，所以D正确．
故选：
对于AB，由面面平行的性质分析判断；对于C，由线面平行的判定结合正方体的性质分析判断；对于D，由和分析判断．
本题考查线线平行的证明，线面平行的证明，三棱锥的体积问题，属中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由，
可得，
即，所以函数关于点中心对称，故A正确；
B.例如，时，函数，
此时函数的图象，如图所示，此时方程有3个实数解，
即函数有3个零点，故B正确；
C.例如当，时，函数，
此时函数的图象，如图所示，
此时，但方程有一个实数解，
即函数有1个零点，故C错误；
D.例如当，时，函数，
此时函数的图象，如图所示，
此时方程仅有2个实数解，即函数有2个零点，故D正确．
故选：
由可知，关于点中心对称，判断A；举出特例，结合二次函数图象与性质，利用函数零点的概念，判断BCD即可．
本题考查了函数的对称性，函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合思想，属中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A：，在中，由大角对大边得，
由正弦定理得，故A正确；
对于B：若，，则，，
此时，故B错误；
对于C：，角B是锐角，
由正弦定理得，即，
，即，
角B是锐角，
若角A是锐角，则；
若角A是钝角，则，
综上所述，若，则，故C正确；
对于D：，
由正弦定理得，即，
，即，故D正确．
故选：
根据题意，利用正弦定理，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数，
则二倍角公式可得：，
其最小正周期为，
故答案是
由已知中函数，其最小正周期为，可得结论．
本题考查了正弦函数的二倍角公式，三角函数的最小正周期及其求法，其中熟练掌握正弦型函数的最小正周期是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查球的表面积公式，新定义问题，属于基础题．
先由球的表面积得球的半径，再由勾股定理求出截面小圆的半径，最后代入“万能求积公式”计算即可得解．
【解答】
解：
如图，设上下截面小圆圆心分别为E，F，上底面截面小圆上一点A，连接OA，
球O的表面积为，球的半径，，
又，，截面小圆半径，
根据“万能求积公式”可得所求几何体的体积为：
故答案为
14.【答案】
【解析】解：若，
由正弦定理
由正弦定理：，
令，，，
，
，
，
从而有
故答案为：
由已知利用正弦定理，余弦定理可求C的值，进而由正弦定理可得，，令，，，利用三角函数恒等变换的应用化简可得的值，由范围，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
15.【答案】解：，
当时，
，，，
，函数的值域是
当时，
求函数的单调递减区间即求的单调递增区间
由
得，
当时，函数的单调递减区间是，
【解析】根据向量数量积的坐标公式，可得，由，求出相位角的取值范围，结合正弦型函数的图象和性质，可得函数的值域；
当时，函数，则函数的单调递减区间即求的单调递增区间，由正弦函数的单调性，构造不等式，解不等式可得函数的单调递减区间．
本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，两角和与差的正弦函数，正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的图象和性质，是解答的关键．
16.【答案】解：证明：连接SB，由EG为的中位线，可得，
由平面，平面，可得平面；
由，平面，平面，
可得平面，
又由可得平面，
，可得平面平面；
取的中点N，连接，NE，
可得，，
取的中点M，连接，AM，
可得，，
可得截面为平行四边形，且，
所以截面的面积为
【解析】连接SB，由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明；
由线面平行和面面平行的判定定理，即可得证；
取的中点N，连接，NE，取的中点M，连接，AM，由平行四边形的判定和性质，推得截面为菱形，由对角线互相垂直，可得所求面积．
本题考查线面平行、面面平行的判定和正方体的截面的做法和面积求法，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：由图象可知，
周期，
所以，
，又，则
所以；
因为，
所以，
又，则，
可得：，
所以
【解析】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，两角差的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．
由图象可知A，T，由周期公式可求，由，又，可求，即可求得函数解析式．
由，可求，又，则可求，由两角差的余弦函数公式即可求值．
18.【答案】解：设，，
，
，即；
设，即，，
因为N在FH上，所以，即，
，
即，即，
即，
由于D，N，B三点共线，所以，
，，
，，，
则，，
，
，
故
【解析】结合平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积运算，即可求解；
结合向量的基本定理，推得，再结合向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：若选①：，
由正弦定理得，即，
，即，
，整理得，
又，即，
则；
若选②：，
由正弦定理得，
即，
，
又，即，
，即，
，
；
若选③：，
，
即，
又，则，
又，即，
，
；
在锐角中，由得，解得，
，
又，则，
故的取值范围为
当取得最大值时，，解得，
在中，令，，，
则，所以；
又，
，
，
，
又，
故当时，的最大值为1，
面积的最大值为
【解析】选①：利用正弦定理边化角结合辅助角公式化简，即可得出答案；
选②：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角三角函数关系化简，即可得出答案；
选③：利用同角三角函数关系结合两角和的正弦公式化简，即可得出答案；
确定锐角中角A的范围，利用两角和的正弦公式化简，结合正弦函数性质，即可得出答案；
由题意得，令，，，由正弦定理推出，结合余弦定理推得，利用三角形面积公式结合正弦函数最值，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．