高一数学上学期 期中测试卷（人教A版）

这是一份高一数学上学期 期中测试卷（人教A版），共18页。试卷主要包含了2指数函数；考试时间，9万元．等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，，2，，则
A．，2，B．，1，2，C．，2，3，D．，1，2，3，
2．“”是“”的条件
A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
3．若函数，则的值为
A．5B．C．D．2
4．函数的定义域是
A．，B．，，C．D．
5．若．，则与的大小关系为
A．B．C．D．无法确定
6．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是
A．，3，B．，3，C．，，3D．，，3
7．若，，，则、、的大小关系是
A．B．C．D．
8．，对于，，，都有成立，求的取值范围
A．B．C．D．
二．多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．若，，，则下列命题正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．命题“，”的否定是“，”
10．已知二次函数，且不等式的解集为，则
A．
B．方程的两个根是1，3
C．
D．若方程有两个相等的实数根，则
11．对于函数，以下结论正确的是
A．的定义域为B．值域为
C．是偶函数D．在，上是减函数
12．已知函数，实数，满足（a）（b），则
A．B．，，使得
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上）
13． ．
14．已知，则的最大值为 ．
15．函数在，上的值域是 ．
16．某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图）是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字型区域，计划在正方形上建一座花坛，造价为99元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为（单位：元），长为（单位：，则绿化花园总造价的最小值为 元．
四．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本题10分）已知集合，不等式的解集为．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
18．(本题12分）若正数，满足，．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的取值范围．
19．(本题12分）已知函数是指数函数．
（1）求，的值；
（2）求解不等式．
20．(本题12分）已知函数是定义域为的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在区间上的单调性，并根据函数单调性的定义进行证明．
21．(本题12分）已知某污水处理厂的月处理成本（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值．
22．(本题12分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求的值域；
（Ⅱ）若的定义域为，，求实数的值；
（Ⅲ）若的定义域为，求实数的取值范围．
2023-2024学年高一第一学期期中考试数学试题
参考答案：
一．选择题（共8小题）
1．已知集合，，2，，则
A．，2，B．，1，2，C．，2，3，D．，1，2，3，
【答案】
【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
【解答】解：集合，1，，，2，，
则，1，2，．
故选：．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2．“”是“”的条件
A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】
【分析】根据不等式的性质，结合充分必要条件的定义，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答】解：若，且，则不能推出，
反之若，则必定是正数，可推出．
因此，“”是“”的必要而不充分条件．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的性质、充分必要条件的判断等知识，属于基础题．
3．若函数，则的值为
A．5B．C．D．2
【答案】
【分析】根据分段函数的意义，经过反复代入函数解析式即可最后求得函数值
【解答】解：依题意，（1）
故选：．
【点评】本题主要考查了分段函数的意义及分段函数函数值的求法，代入求值时确定好代入的解析式是解决本题的关键
4．函数的定义域是
A．，B．，，C．D．
【答案】
【分析】根据已知条件，列出不等式组，即可求解．
【解答】解：，
则，解得且．
故选：．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
5．若．，则与的大小关系为
A．B．C．D．无法确定
【答案】
【分析】根据不等式性质，利用作差法可解．
【解答】解：因为．，
则，
又根据二次函数知识可知，恒成立，
则．
故选：．
【点评】本题考查不等式性质，属于基础题．
6．图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是
A．，3，B．，3，C．，，3D．，，3
【答案】
【分析】根据幂函数在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数的可能取值．
【解答】解：由幂函数在第一象限内的图象知，
图中对应的，对应的，对应的；
结合选项知，指数的值依次可以是，和3．
故选：．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
7．若，，，则、、的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合幂函数的单调性，即可求解．
【解答】解：，，，
在第一象限内是增函数，
，
故，即．
故选：．
【点评】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
8．，对于，，，都有成立，求的取值范围
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由题意可知函数是上的减函数，则函数的两段函数均为减函数，且有，由此可得到关于实数的不等式组，解之即可得解．
【解答】解：因为定义在上的函数满足对，，，都有，
所以函数是上的减函数，
则函数和均为减函数，且有，
即，解得，故实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查不等式问题，是基础题．
二．多选题（共4小题）
9．若，，，则下列命题正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．命题“，”的否定是“，”
【答案】
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及命题否定的定义，即可求解．
【解答】解：对于，，
则，即，故正确；
对于，若，
当时，，故错误；
对于，，，
故，故正确；
对于，“，”的否定是“，”，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10．已知二次函数，且不等式的解集为，则
A．
B．方程的两个根是1，3
C．
D．若方程有两个相等的实数根，则
【答案】
【分析】根据不等式的解集为得到，且，再结合有两个相等的根，运用根的判别式列出关于的方程并解之，可得实数的值．
【解答】解：不等式的解集为，
不等式的解集为，且，故正确；错误；
由韦达定理得，即，故正确；
，
则方程有两个相等的根可化为有两个相等的实数根，
则△，
解得或，
又由，则，故正确．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质以及二次不等式的解法，关键掌握一元二次不等式的解法和根的判别式等知识，属于中档题．
11．对于函数，以下结论正确的是
A．的定义域为B．值域为
C．是偶函数D．在，上是减函数
【答案】
【分析】根据奇偶性和解析式，画出图象，即可对各选项作出判断．
【解答】解：，对于，都有意义，所以的定义域为，
又，为偶函数，
当时，，当时，图象与时的图象关于轴对称，作出图象，如图所示，
对于的定义域为，故正确；
对于：由函数图象可知，，，故错误；
对于为偶函数，故正确；
对于：由函数图像可知，当时，为减函数，故正确；
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的定义域，值域，奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
12．已知函数，实数，满足（a）（b），则
A．B．，，使得
C．D．
【答案】
【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项、的正误，根据基本不等式，可得选项、的正误．
【解答】解：画出函数的图象，如图所示，
由图知，则，故错，对，
由基本不等式可得，所以，则，故错，对．
故选：．
【点评】本题主要考查了指数函数的图象变换，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13． ．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．
14．已知，则的最大值为 ．
【答案】．
【分析】利用基本不等式的变形公式求解可得答案．
【解答】解：因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
15．函数在，上的值域是 ， ．
【答案】，．
【分析】先化简函数的解析式，再利用函数的单调性求函数的值域．
【解答】解：当时，函数 在，上是增函数，
故当时，函数取得最小值为1，
又，故函数的值域为，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．
16．某公园设计了一座八边形的绿化花园，它的主体造型平面图（如图）是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字型区域，计划在正方形上建一座花坛，造价为99元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元；在四个矩形（图中阴影部分）上不做任何设计．设总造价为（单位：元），长为（单位：，则绿化花园总造价的最小值为 1440 元．
【答案】1440．
【分析】设长为，则，求出，再结合各个区域的造价求得，利用基本不等式可得最值．
【解答】解：设长为，则，
即，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取最小值为1440，
故答案为：1440
【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
四．解答题（共6小题）
17．已知集合，不等式的解集为．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）时，得出集合，并求出集合，然后进行并集和交集、补集的运算即可；
（2）根据条件得出，然后讨论是否为空集，是空集时，得出的范围；不是空集时，得出关于的不等式组，解出的范围，最后即可得出的取值范围．
【解答】解：（1）时，，且，
，或，；
（2），，
①时，，解得，满足；
②时，，解得，
综上得，的取值范围为．
【点评】本题考查了交集、并集和补集的运算，子集的定义，分类讨论的思想，是基础题．
18．若正数，满足，．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）25；
（2），．
【分析】（1）由已知可得，然后利用乘1法，结合基本不等式可求；
（2）由已知，结合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：（1）当时，，
所以，
所以，
当且仅当且，即时取等号；
（2）当时，，当且仅当，即，时取等号，
解得，
故的取值范围为，．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
19．已知函数是指数函数．
（1）求，的值；
（2）求解不等式．
【答案】（1）且；
（2）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．
【分析】（1）根据指数函数的定义求出，的值即可；
（2）问题转化为，通过讨论的范围，得到关于的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）是指数函数，
且．
且；
（2）由（1）得，
则即，
①当时，单调递增，
则不等式等价于，解得，
②当时，单调递减，
则不等式等价于，解得，
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
【点评】本题考查了指数函数的定义，考查指数函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．
20．已知函数是定义域为的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在区间上的单调性，并根据函数单调性的定义进行证明．
【答案】（1）；（2）函数在区间上是减函数，证明见解析．
【分析】（1）当时，代入奇函数的定义可求出．
（2）代入时的解析式，再由函数单调性的定义求解．
【解答】解：（1）设，
则，
，
又因为为奇函数，
，
，
即，
函数解析式为
（2）函数在区间上是减函数．
证明：设，，且，有
由，，
得，，
所以，，
又，得，
于是，
即，
函数在区间上单调递减．
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断以及应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义，属于中档题．
21．已知某污水处理厂的月处理成本（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
（2）请写出该厂每月获利（万元）与月处理量（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值．
【答案】（1）每月污水处理量为100万吨时，成本最低；
（2），最大值为75万元．
【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案．
（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案．
【解答】解：（1）依题意，，解得，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
所以当每月污水处理量为100万吨时，每万吨的处理成本最低．
（2）依题意，，
当万吨时，取得最大值为万元．
【点评】本题考查了基本不等式与二次函数的性质应用问题，是中档题．
22．已知函数．
（Ⅰ）当时，求的值域；
（Ⅱ）若的定义域为，，求实数的值；
（Ⅲ）若的定义域为，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ），；
（Ⅱ）；
（Ⅲ），．
【分析】（Ⅰ）当时，，利用二次函数的配方法可求得的值域；
（Ⅱ）依题意，得，且，1是方程的两根，列式可求实数的值；
（Ⅲ）若的定义域为恒成立，分与，两类讨论可求得答案．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
即的值域为，；
（Ⅱ）的定义域为，，
的解集为，，
，且，1是方程的两根，
即，解得：；
（Ⅲ）若的定义域为，
则恒成立，
①当，即时，，符合题意；
②，解得：，
综上：，．
【点评】本题考查函数的定义域与值域的求法，考查不等式恒成立问题，属于中档题．