河南省TOP二十名校2025-2026学年高二上学期10月调研考试数学试卷（Word版附解析）（北师大卷）

这是一份河南省TOP二十名校2025-2026学年高二上学期10月调研考试数学试卷（Word版附解析）（北师大卷），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的斜率是（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆经过原点，则（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
3．椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆与圆外切，则（ ）
A．5B．7C．11D．13
5．直线一定经过点（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（ ）
A．B．2C．或2D．4
7．在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（ ）
A．B．C．7D．
11．已知点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为A，B，则（ ）
A．圆心到的距离为B．的最小值为
C．的最小值为D．直线过定点
三、填空题
12．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为 ．
13．已知，是直线上的两点，若，则 ．
14．已知圆，椭圆，点M，N分别在圆和椭圆上，则线段长度的最小值为 .
四、解答题
15．已知直线，直线经过点．
(1)若，求直线的方程；
(2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
16．已知椭圆的长轴长，短轴长分别为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)点为椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，若，求的面积.
17．已知圆，直线过点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程.
18．在中，，边上的中线所在直线的方程为：，边上的高所在直线的方程为：，求：
(1)点的坐标；
(2)边所在直线的方程；
(3)中的角平分线所在直线的方程．
19．已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点.
(1)求圆的标准方程；
(2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值；
(3)若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点.
1．B
将直线方程化为，即可得斜率.
【详解】因为直线方程为，即，
所以直线的斜率为．
故选：B．
2．B
将代入圆的方程进行求解．
【详解】将代入圆的方程中，得，即，
方程为，满足，
故,
故选：B.
3．C
由椭圆的几何性质求解．
【详解】由题意，得，，，
所以，，
离心率.
故选：C.
4．D
利用两圆外切建立方程即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为两圆外切，所以，即，解得.
故选：D.
5．B
将直线方程化为，进而分析定点.
【详解】直线可化为，
令，解得，所以直线过定点．
故选：B．
6．C
根据条件，先求得圆心到的距离，根据题意，可得圆心到直线的距离为1，列出等式，即可得答案.
【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径，
圆心到的距离，
因为圆上恰有3个点到直线的距离为1，
所以直线分圆所得的劣弧上的点到该直线的最大距离为1，
所以圆心到直线的距离为，
即，解得或.
故选：C.
7．C
由题意可知：表示点与点连线的斜率，结合图象分析斜率的取值范围即可.
【详解】当时，；当时，，
所以线段的最左端是，最右端是，
表示点与点连线的斜率，
当点在点A处时，；
当点在点B处时，；

结合图象可知，的取值范围是．
故选：C．
8．A
根据题意，先求出点关于轴的对称点，关于直线的对称点，将折线转化为直线，通过两点之间线段最短求解即可.
【详解】如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，

易得的坐标为，
设点的坐标为，则，解得，
所以，
因为，，
所以的周长为，
所以当、、、四点共线时，的周长最小，
最小值为．
故选：A
9．BC
根据直线平行可设直线的方程为，结合两平行线间距离公式运算求解即可.
【详解】因为，且直线的方程为，
设直线的方程为，，
根据题意得，解得或，
所以直线的方程为或．
故选：BC．
10．AD
根据椭圆定义，可得，，分别讨论、和三种情况，求得各个长度，代入面积公式，即可得答案.
【详解】设为坐标原点，则，，
当时，，，
所以的面积为；
当时，，
所以的面积为.
同理，当时，的面积为.
故选：AD.
11．ACD
对于A，利用点到直线的距离公式计算即得；对于B，利用切线性质求得，结合图形判断当时最小，代入即得的最小值；对于C，利用面积相等，求出，利用上述结论即得其最小值；对于D，利用圆的切线性质，判断以为直径的圆经过点，求出该圆的方程，与圆相减，即得直线的方程，整理成关于的方程，联立方程组即可求得直线经过的定点.
【详解】
对于A，由，可知圆心为，
则点到直线的距离，故A正确；
对于B，如图，由圆的切线性质，可得，
又，则，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，故B错误；
对于C，由圆的切线性质易得，，
所以，
则，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故C正确；
对于D，设，则线段的中点坐标为，
又，
则以为直径的圆的方程为，
整理得：，
将其与圆相减，可得，
整理得，
由，解得，即直线过定点，故D正确.
故选：ACD.
12．/
先根据过两点的直线斜率公式求出直线的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系求出倾斜角.
【详解】由直线经过，两点，得直线的斜率，
设直线的倾斜角为，所以，解得．
故答案为：
13．13
根据题意结合直线方程可得，再利用两点间距离公式运算求解.
【详解】因为，在直线上，则，．
又因为，则，
所以．
故答案为：13.
14．/
设点，利用两点间距离公式计算，代入，将其化成关于的二次函数，利用其性质求得线段长度的最小值，代入计算即得.
【详解】圆的圆心坐标为，半径，
设点的坐标为，则，
又点在椭圆上，所以，即，，
所以，
则当时，取得最小值，结合圆的几何性质可得.
故答案为：.
15．(1)；
(2)或．
（1）由题意，，根据直线的垂直系方程，可设直线的方程为，又直线经过点，代入可求得，即可求得直线的方程；
（2）由直线在两坐标轴上的截距相等，分直线经过原点和直线不经过原点两种情况进行讨论，结合直线经过点，即可求得直线方程.
【详解】（1）因为，所以可设直线的方程为．
因为直线经过点，所以，解得．
所以直线的方程为．
（2）已知直线在两坐标轴上的截距相等，
若直线过原点，设直线的方程为，
因为直线经过点，所以，
此时直线的方程为，即．
若直线不过原点，设直线的方程为．
因为直线经过点，所以，所以．
此时直线的方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
16．(1)
(2)
（1）根据长轴长和短轴长可得，即可求解椭圆方程.
（2）结合椭圆定义，利用余弦定理求得，代入面积公式求解即可.
【详解】（1）由题意，得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由椭圆的定义可知，，
在中，由余弦定理可得，
即，
所以，
所以的面积.
17．(1)或
(2)或
（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案；
（2）设直线的方程，利用直线和圆相交时的弦长公式，即可求得答案.
【详解】（1）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，
解得.
所以直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离.
所以，
解得，或.
所以直线的方程为或，即或.
18．(1)
(2)
(3)
（1）设，可得，由，可得，再根据斜率公式列式，联立方程，解出坐标即可；
（2）设，则边的中点，由边上的高所在直线过点C，及边的中点在上，列式求出点C坐标，求出边所在直线的斜率，利用点斜式方程即可求解；
（3）求出、所在直线方程，设是的角平分线所在直线上任意一点，由角平分线的性质可得P到边所在直线，边所在直线的距离相等，结合点到直线的距离公式列式即可求解.
【详解】（1）设，
因为边上的中线所在直线：经过点A，所以，
因为边上的高所在直线的方程为：，
所以，即，
又，所以，即，
由得
所以点A的坐标为．
（2）设，因为边上的高所在直线：经过点C，
所以．
因为边上的中线所在直线的方程为：，
所以边的中点在：上，
即，所以，
由得
所以点C的坐标为．
因为边所在直线的斜率，
所以边所在直线的方程为，即．
（3）因为边所在直线的斜率，
所以边所在直线的方程为，即．
因为：过B，C两点，
所以边所在直线的方程为．
设是的角平分线所在直线上任意一点，
由角平分线的性质可得P到边所在直线，边所在直线的距离相等，
即．
所以或．
因为的角平分线应该与边（不含端点）有交点，
所以的角平分线所在直线的斜率，
所以不符合，符合，
所以中的角平分线所在直线的方程为．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）解：由已知得圆的半径.
所以圆的标准方程为.
（2）证明：由（1）可知，，
设，则，
由题意知，直线的方程为.
令，得，所以.
由，得直线的方程为.
令，得，所以.
所以
，
所以为定值.
（3）证明：设直线的方程为，，，已知，
联立得，
，即.
所以，.
所以.
所以.
所以.
整理得，所以或.
当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，恒过点，符合题意.
所以直线过定点.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
D
B
C
C
A
BC
AD
题号
11









答案
ACD