2025-2026学年浙江省温州市第二十二中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年浙江省温州市第二十二中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线x+my+1=0的倾斜角的大小为π6，则实数m=( )
A. 3B. 33C. − 33D. − 3
2.已知直线l1:2a+1x+ay+1=0，l2:a+2x+ay+2=0，则“a=1”是“l1//l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知点A1,1，B5,3，则以线段AB为直径的圆的方程为( )
A. x−22+y−32=5B. x−22+y−32=1
C. x−32+y−22=5D. x−32+y−22=1
4.已知直线l的方向向量为n=1,0,1，且l过点M1,−1,−1，则点N1,1,1到直线l的距离为( )
A. 1B. 2C. 6D. 6
5.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且PA=PB，若直线PA的方程为x−y+1=0，则直线PB的方程是( )．
A. x+y−5=0B. 2x−y−1=0C. 2x−y−4=0D. 2x+y−7=0
6.如图，已知ABCD，ABEF均为正方形，二面角C−AB−F的大小为60。，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为( )．
A. 14B. 12
C. 52D. 54
7.如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点N在对角线BF上移动，另一个端点M在正方形ABCD内(含边界)移动，且始终保持MN⊥AB，则端点M的轨迹长度为( )
A. π2
B. 2
C. 1
D. π4
8.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90 ∘，PA=12AB=BC=12AD=1，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点(包括边界)，且二面角Q−PD−A的平面角大小为π3，则▵ADQ面积的取值范围是( )
A. 0, 155B. 0, 155C. 0,2 155D. 0,2 155
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线l:x+y−1=0，下列说法正确的有( )
A. 直线l过点0,1B. 直线l与直线y=x垂直
C. 直线l的一个方向向量为1,−1D. 原点到直线l:x+y−1=0的距离为1
10.下列说法正确的是( )
A. 若a,b,c为空间的一个基底，则a+b,a−2b,c可构成空间的另一个基底
B. 在空间直角坐标系Oxyz中，点A(−4,−3,2)与点B(4,−3,2)关于平面yOz对称
C. 若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于60 ∘，则直线l与平面α所成的角等于60 ∘
D. 在空间直角坐标系Oxyz中，平面ABC的一个法向量n=(1,−2,2)，若点P在平面ABC外，AP=0,0,1，则点P到平面ABC的距离为23
11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π2，故其各个顶点的曲率均为2π−3×π2=π2.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=2,AA1=32，点C的曲率为π3,D,E,F分别为AC，AB,A1C1的中点，则( )
A. 直线BF与直线C1C所成角余弦值为 1515
B. 在三棱柱ABC−A1B1C1中，点A的曲率为5π6
C. 过BC作三棱柱ABC−A1B1C1的截面，使得截面与平面A1DE平行，则截面面积为 132
D. 当点M在线段AB上运动时，A1M+CM的最小值为 372
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系O−xyz中，点A2,4,1，点C是点B2,1,1关于yOz平面的对称点，则AC= ．
13.如图，在正四棱锥S−ABCD中，底边AB=2，侧棱SA=3，P为侧棱SD上一点，若SD⊥平面PAC，则二面角P−AC−D的余弦值是 ．
14.已知P､Q分别在直线l1:x−y+1=0与直线l2:x−y−1=0上，且PQ⊥l1，点A−4,4，B4,0，则AP+PQ+QB的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系xOy中，已知▵ABC的三个顶点A(m,n),B(4,−1),C(2,1)．
(1)求BC边所在直线的一般式方程；
(2)若▵ABC的面积等于2，且点A在直线l:x−y−5=0上，求点A的坐标．
16.(本小题15分)
如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，点M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点．
(1)求证：直线BM//平面ACN；
(2)求点B到平面ACN的距离．
17.(本小题15分)
如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60∘,CD=CC1．

(1)求CA1的长度；
(2)求证：CA1⊥平面C1BD．
18.(本小题17分)
已知圆C过点A4,0，B0,4，且圆心C在直线l：x+y−6=0上
(1)求圆C的方程；
(2)若从点M4,1发出的光线经过直线y=−x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1所在直线的一般式方程；
(3)若P为圆C上的动点，求AP2+BP2的最小值．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD,∠ACD=∠BAD=90 ∘，∠ABC=60 ∘，PA=AB=BC=2 3,E是线段PC上的动点．

(1)证明：CD⊥AE；
(2)若E是线段PC的中点，求平面ABE与平面PBC夹角的余弦值；
(3)设直线PD与平面ABE所成角为θ，求sinθ的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.C
5.A
6.A
7.A
8.D
9.ABC
10.ABD
11.BD
12.5
13. 73或13 7
14. 58+ 2或 2+ 58
15.(1)直线BC的斜率kBC=−1−14−2=−1，直线BC的方程为y−1=−1⋅(x−2)，
所以BC边所在直线的一般式方程为x+y−3=0．
(2)依题意，BC= 22+(−2)2=2 2，设点A到直线BC的距离为d，
由▵ABC的面积等于2，得12⋅2 2⋅d=2，解得d= 2，
于是m−n=5|m+n−3| 2= 2，解得m=5n=0或m=3n=−2,
所以点A的坐标为(5,0)或(3,−2)．

16.(1)如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴正方形建立空间直角坐标系，
则A2,0,0，C0,2,0，N1,0,4，B2,2,0，M2,1,4，N1,0,4，
∴AC=−2,2,0，AN=−1,0,4，AB=0,2,0，BM=0,−1,4，
设平面ACN的法向量为n=x,y,z，则AC⋅n=0AN⋅n=0，即−2x+2y=0−x+4z=0,
设z=1，解得x=4，y=4，则平面ACN的一个法向量为n=4,4,1，
则BM⋅n=0−4+4=0，得BM⊥n，
又直线BM不在平面ACN内，则直线BM//平面ACN．
(2)点B到平面ACN的距离d=AB⋅nn=8 16+16+1=8 3333．

17.(1)设CB=a，CD=b，CC1=c，
由于四边形ABCD为菱形，则CB=CD=CC1=1，即a=b=c=1，
所以c⋅a=c⋅acs60 ∘=12，同理可得a⋅b=b⋅c=12，
由题意可得CA1=a+b+c，
所以|CA1|= (a+b+c)2= |a|2+|b|2+|c|2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c= 6；
(2)因为BD=b−a，
所以CA1⋅BD=(a+b+c)⋅(b−a)=|b|2−|a|2+c⋅b−c⋅a=0，
所以CA1⊥BD，
因为BC1=CC1−CB=c−a，计算CA1⋅BC1：
CA1⋅BC1=a+b+c⋅c−a=a⋅c−a|2+b⋅c−a⋅b+c|2−a⋅c=0，
所以CA1⊥BC1，
又因为BD∩BC1=B，BD、BC1⊂平面C1BD．
所以CA1⊥平面C1BD．

18.(1)

由A4,0，B0,4，得直线AB的斜率为kAB=0−44−0=−1，线段中点D2,2，
所以kCD=1，直线CD的方程为y−2=x−2，即y=x，
联立x+y−6=0y=x，解得x=3y=3，即C3,3，
所以半径r=AC= 4−32+0−32= 10，
所以圆C的方程为x−32+y−32=10；
(2)由l1恰好平分圆C的圆周，得l1经过圆心C3,3，
设点M关于直线y=−x的对称点Nx,y，
则直线MN与直线y=−x垂直，且线段MN的中点x+42,y+12在y=−x上，
即y−1x−4×−1=−1y+12=−x+42，解得x=−1y=−4,
所以N−1,−4，
所以直线CN即为直线l1，且kl1=kCD=3−−43−−1=74，
直线l1方程为y−3=74x−3，即7x−4y−9=0；
(3)设Px,y，
则AP2+BP2=x−42+y2+x2+y−42=2x−22+y−22+16
其中x−22+y−22表示Px,y到2,2距离的平方，
将2,2代入2−32+2−32