四川省南充市嘉陵第一中学2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷

这是一份四川省南充市嘉陵第一中学2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟，满分 150 分一、单选题（每题 5 分，共 40 分.）
不等式 x2  x  2  0 的解集为（）
x | 2  x  1
x | 1  x  2
x x  2 或 x  1
x x  1 或 x  2
已知 f  x 
1
x  3
x  2
，则 f  x 定义域为（）
A. RB. x x  3
C. {x x  3 且 x  2D. {x x  3 且 x  2
下列命题是真命题的是（）
若 a  b ，则 a2  b2 .B. 若 a  b ，则 1  1
a2b2
C. 若 a  b ，则 ac2  bc2D. 若 a  b ，则 a  c  b  c
中国清朝数学家李善兰在 1859 年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930 年美国人给出了我们课本中所学
的集合论的函数定义，设集合 P  x 0  x  4 ， Q  y 0  y  4 ，则下列图象能表示集合 P 到集合Q
的函数关系的是（）
A.B.
C.D.
x
x
下列结论正确的是（）
当 x  2 时， x 
1 4
x  2
当 x  0 时，
 4  4
2
当 x  2 时， x  2 的最小值是2
x
当 a  0 时， a 
1
a 1
的最小值为 1
已知集合 A  x 2  x  5 ， B  x m 1  x  2m 1，若 B 为 A 的真子集，则 m 的取值范围是
（）
A m | m  2
B. m | 2  m  3
C. m | m  3
D. m | 2  m  3
“不等式 mx2  x  m  0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（）
A m  1 2
B. 0  m  1
C. m  1
4
D.
f  x1   f  x2 
m  1
已知定义在a  3, 2a 上的偶函数 f  x ，对x1 , x2 0 , 2a 有式 f  x  a  f  x  0 的解集为（ ）
x1  x2
0 ，则关于 x 的不等
 1, 1 
 ∞, 1 
1, 2
 1 , 2 
2 
2 
 2

二、多选题（每题 6 分，共 18 分，在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分）
下列命题中正确的是（ ）
集合a, b 的真子集是a,b
{x | x是菱形}  {x | x是平行四边形}
设 a, b  R, A  1, a, B  1, b ，若 A  B ，则 a  b  2
 x x2 1  0
下列命题中，不正确的有（）
函数 y 
x 1 
与函数 y 
表示同一函数
x 1
x2 1
已知函数 f 2x 1  4x  6 ，若 f a  10 ，则 a  9
x
x
若函数 f 1  x  3，则 f  x  x2  x  2
若函数 f  x 的定义域为0, 2 ，则函数 f 2x 的定义域为0, 4
ax  3, x  2

已知函数x2  2ax  2a, x  2 ，则下列结论正确的是（）
A 若 f  f 0  0 ，则 a  9
4
2
B. 若 f  x 在R 上单调递增，则 a 的值可以为 1
C. 存在 a ，使得 f  x 在, 3 上单调递减
D. 若 f  x 的值域为R ，则 a 的取值范围为 1 , 

 4
三、填空题（每题 5 分，共 15 分）
已知命题 p ： x  0 ， 3x2  7x  2  0 ，则命题 p 的否定为.
已知函数 f (x) 是奇函数，当 x  0 时， f (x)  x2  2x ，则当 x  0 时， f (x)  .
设 P 是一个数集，且至少含有两个数.若对于任意 a 、b  P ，都有 a  b 、 a  b 、 ab  P ，且若
b  0 ，则 a  P ，则称 P 是一个数域.例如，有理数集Q 是数域.则下列说法正确的是（写出所
b
有正确说法的序号）.
数域必含有 0，1 两个数.
整数集是数域.
若有理数集Q  M ，则数集 M 一定是数域.
数域中有无限多个元素.
四、解答题（共 77 分）
设全集为U  {1, 2, 3, 5, 7,8, 9}，集合 A ={2, 3, 5}，集合 B  {1, 5, 7, 9}.
求 A ∪ B
求 A∩ðU B .
已知二次函数 f  x  ax2  b  2 x  3 ．
若不等式 f (x)  0 的解集为x 1  x  1，求 a, b 的值；
若 f (1)  2 ，且 a  0, b  0 ，求 1  4 的最小值．
ab
某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料 x 千克时，这种果树的单株产量
2 x2 17, 0  x  2

W  x  
50 

8
x 1
, 2  x  5
（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为20x 10 元.已知这
种水果的市场售价大约为 10 元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为 f  x （单位：元）．
求 f  x 的解析式；
当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
已知函数 f  x  ax  b 时定义在1,1 上的奇函数，且 f  1   4 ．
2
5

1 x2 
求 f  x 的解析式；
先判断函数 f  x 在区间1,1 上的单调性，并证明；
求关于m 的不等式 f m 1  f m  0 ．
已知函数 f  x  x2  ax  3 ， a  R .
若函数 y 
1
f  x
的定义域为R ，求实数 a 的取值范围；
若任意 x 1, 2 ， f  x  a 恒成立，求实数 a 的取值范围；
若函数 g  x  
f  x   a  2 x  a ，函数 y  g  g  x 的最小值是5 ，求实数 a 的值.
高 2025 级高一上期第二次月考
数学试卷
考试时间：120 分钟，满分 150 分一、单选题（每题 5 分，共 40 分.）
不等式 x2  x  2  0 的解集为（）
x | 2  x  1
x | 1  x  2
x x  2 或 x  1
x x  1 或 x  2
【答案】B
【解析】
【分析】利用因式分解法求解一元二次不等式.
【详解】不等式 x2  x  2  0 化为(x  2)(x 1)  0 ，解得1  x  2 ，所以原不等式的解集为x | 1  x  2.
故选：B
已知 f  x 
1
x  3
x  2
，则 f  x 定义域为（）
A. RB. x x  3
C. {x x  3 且 x  2D. {x x  3 且 x  2
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的具体形式，列不等式，即可求解.
x  3  0

【详解】由条件可知x  2  0 ，得 x  3 ，且 x  2 .
所以函数的定义域为{x x  3 ，且 x  2} .
故选：C
下列命题是真命题的是（）
若 a  b ，则 a2  b2 .B. 若 a  b ，则 1  1
a2b2
C. 若 a  b ，则 ac2  bc2D. 若 a  b ，则 a  c  b  c
【答案】D
【解析】
【分析】举例说明判断 ABC；由不等式的性质判断 D.
【详解】对于 A，取 a  1, b  2 ，则 a2  1， b2  4 ，此时 a2  b2 ，A 错误；
对于 B，取 a  1, b  2 ，则 1
a2
 1， 1
b2
 1 ，此时 1
4a2
1 ，B 错误；
b2
对于 C，取c  0 ，则 ac2  bc2  0 ，C 错误；对于 D，由不等式的性质可知 D 正确.
故选：D
中国清朝数学家李善兰在 1859 年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930 年美国人给出了我们课本中所学
的集合论的函数定义，设集合 P  x 0  x  4 ， Q  y 0  y  4 ，则下列图象能表示集合 P 到集合Q
的函数关系的是（）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数定义及表示法逐项判断得解.
【详解】对于 A，由图象法表示函数，且该图象符合函数的定义，A 正确；
对于 B，集合 P 中大于 2 且小于等于 4 的数，在集合Q 中没有元素与之对应，不符合函数定义，B 错误；对于 C，集合 P 中存在元素，在Q 中与之对应的元素不唯一，如 x  2 时，对应 y 值有 2 个，C 错误； 对于 D，集合 P 中存在元素，在Q 中与之对应的元素不唯一，且 x 的范围不对，D 错误.
故选：A
下列结论正确的是（）
当 x  2 时， x 
1 4
x  2
当 x  0 时，
 4  4
x
2
当 x  2 时， x  2 的最小值是2
x
x
当 a  0 时， a 
1
a 1
的最小值为 1
【答案】B
【解析】
 x  2
1
x  2
【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得.
【详解】当 x  2  0 时， x 
1
x  2
 x  2 
1
x  2
 2  2
 2  4 ，当且仅当
x  2 
1
x
x
x
x  2
，即 x  3 时等号成立，但已知条件中 x  2 ，故 A 错误；
2
2
x
当 x  0 时，
 4
x  4
x
 2
 4 ，当且仅当
 4
，即 x  4 时等号成立，故 B 正确；
x
x  2
x
当 x  0 时， x  2  2
x
不成立，故 C 错误；
 2
，当且仅当 x  2 ，即 x 时等号成立，但已知条件中 x  2 ，等号
当 a 1  0 时， a 
1
a 1
 a 1
1
a 1
1  2
1  2 1  1 ，当且仅当 a 1 
1
，即
a 1
a 1
1
a 1
a  0 时等号成立，但已知条件中 a  0 ，等号不成立，故 D 错误．故选：B.
已知集合 A  x 2  x  5 ， B  x m 1  x  2m 1，若 B 为 A 的真子集，则 m 的取值范围是
（）
A. m | m  2
B. m | 2  m  3
C. m | m  3
D. m | 2  m  3
【答案】C
【解析】
【分析】分集合 B 是否是空集进行讨论即可求解.
【详解】当 B   时，满足 B 为 A 的真子集，此时 m 1  2m 1，解得 m  2 .

m 1  2m 1m 1  2m 1

当 B   时，则


m 1  2 2m 1  5
或 m 1  2

 2m 1  5
，解得 2  m  3 .
综上， m  3 ，即 m 的取值范围是m | m  3 .
故选：C
“不等式 mx2  x  m  0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（）
m  1
2
0  m  1
m  1
4
m  1
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】因为“不等式 mx2 +x  m  0 在R 上恒成立”，所以当 m  0 时，原不等式为 x>0 在 R 上不是恒成立的，所以 m  0 ，
m>0
1 4m  0
所以“不等式 mx2 +x  m  0 在R 上恒成立”，等价于 2
，解得 m  1 .
2
A 选项是充要条件，不成立；
B 选项中， m  1 不可推导出0  m  1 ，B 不成立；
2
C 选项中， m  1 可推导 m  1 ，且 m  1 不可推导 m  1 ，故 m  1 是 m  1 的必要不充分条件，正
244
确；
242
D 选项中， m  1可推导 m> 1 ，且 m> 1 不可推导 m  1，故 m>1 是 m  1 的充分不必要条件，D 不正
222
确.
故选：C.
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
若 p 是 q 的必要不充分条件，则 q 对应集合是 p 对应集合的真子集；
p 是 q 的充分不必要条件， 则 p 对应集合是 q 对应集合的真子集；
p 是 q 的充分必要条件，则 p 对应集合与 q 对应集合相等；
p 是 q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与 p 对应集合互不包含．
12x  x
已知定义在a  3, 2a 上的偶函数 f  x ，对x , x 0 , 2a 有 f  x1   f  x2 
12
0 ，则关于 x 的不等
式 f  x  a  f  x  0 的解集为（ ）
 1, 1 
 ∞, 1 
1, 2
 1 , 2 
2 
2 
 2

【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出 a 的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式.
【详解】Q f  x 是定义在a  3, 2a 上的偶函数，
∴根据偶函数的定义域关于原点对称，可得 a  3  2a  0 ，解得 a  1 ，
 f  x 的定义域为2, 2 .
又Q对x , x
0 , 2a 有
f  x1   f  x2   0 ，
12x  x
12
 f  x 在0 , 2 上单调递增，Q f  x 为偶函数， f  x 在2, 0 上单调递减.
由 a  1 ，不等式 f  x  a  f  x  0 可化为 f  x 1  f  x ，
根据偶函数的性质，不等式可化为 f  x 1  
2  x 1  2
f  x  ，


由以上推出的条件可得2  x  2
，解得1  x  1 .
2
故选：A.
 x 1  x
二、多选题（每题 6 分，共 18 分，在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分）
下列命题中正确的是（ ）
集合a, b 的真子集是a,b
{x | x是菱形}  {x | x是平行四边形}
设 a, b  R, A  1, a, B  1, b ，若 A  B ，则 a  b  2
 x x2 1  0
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知 A 不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知 B 正确；根据集合相等的概念求出 a, b ，可知 C 正确；根据空集是任何非空集合的真子集，可知 D 正确.
【详解】对于 A，集合a, b 的真子集包括a,b,  ，A 错误；
对于 B，因为菱形一定是平行四边形，所以{x | x是菱形}  {x | x是平行四边形}，B 正确；对于 C，因为 A  1, a ， B  1, b ， A  B ，所以 a  1 ， b  1， a  b  2 ，C 正确；
对于 D，因为方程 x2 - 1 = 0 的解为 x  1 ，所以x | x2 1  0  1,1 ，因为空集是任何非空集合的真子集，所以x x2 1  0，D 正确．
故选：BCD.
下列命题中，不正确的有（）
函数 y 
x 1 
与函数 y 
表示同一函数
x 1
x2 1
已知函数 f 2x 1  4x  6 ，若 f a  10 ，则 a  9
x
x
若函数 f 1  x  3，则 f  x  x2  x  2
若函数 f  x 的定义域为0, 2 ，则函数 f 2x 的定义域为0, 4
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A ，两函数的定义域不同，故不是同一函数即可判断；对于B ，根据 f a  10 ，可以求出 a
x
的值；对于C ，令1  t, t  1 ，求出 x 代入即可判断；对于D ，函数 f  x 的定义域为0, 2 ，则
2x 0, 2即可判断.
【详解】对于A ，函数 y 
x 1 
的定义域是1,  ，函数 y 
定义域是
x 1
x2 1
, 11,  x  1，故不是同一函数，故A 错误；
对于B ，根据 f a  10 ，可以得4x  6  10 ，可求出 x  4 ， 2x 1  9 ，求出 a  9 ，故B 正确；
x
对于C ，令1  t, t  1 ，则 x  t 12 ，所以 f t   t 2  t  2, t  1 ，即
f  x  x2  x  2, x  1，故C 错误；
对于D ，函数 f  x 的定义域为0, 2 ，则2x 0, 2，可得 x 0,1 ，故D 错误.
故选：ACD
ax  3, x  2

已知函数x2  2ax  2a, x  2 ，则下列结论正确的是（）
若 f  f 0  0 ，则 a  9
4
2
若 f  x 在R 上单调递增，则 a 的值可以为 1
存在 a ，使得 f  x 在, 3 上单调递减
若 f  x 的值域为R ，则 a 的取值范围为 1 , 

 4
【答案】AD
【解析】
【分析】由分段函数求值可解得 a  9 确定 A；根据已知分段函数单调性求参问题可判断 BC；由值域为R
4
可得 a  0 ，根据二次函数最值问题，分0  a  2 和 a  2 两种情况讨论即可.
【详解】对于 A，由题意得 f 0  3，得 f  f 0 

a  0,
2a

对于 B，若 f  x 在R 上单调递增，则 2,
f 3  9  6a  2a  0 ，解得 a  9 ，故 A 正确；
4
得0  a  1 ，

 2 14
所以 a  1 不符合题意，故 B 错误；
2
2a  3  4  4a  2a,



a  0,
 2a
对于 C，若 f  x 在, 3 上单调递减，则 3,
不等式组无解，故 C 错误；

 2 1

2a  3  4  4a  2a,

对于 D，若 f  x 的值域为R ，则 a  0 ，得 f  x 在, 2 上单调递增．当0  a  2 时， f  x 在2,  上单调递增，
则2a  3  4  4a  2a ，得 a  1 ，即 1  a  2 ；
44
当 a  2 时， f  x 在2, a 上单调递减，在a,  上单调递增，
则2a  3  a2  2a2  2a ，得 a2  3  0 恒成立，即 a  2 符合题意．
综上， a 的取值范围为 1 ,  ，故 D 正确.

 4
故选：AD.
三、填空题（每题 5 分，共 15 分）
已知命题 p ： x  0 ， 3x2  7x  2  0 ，则命题 p 的否定为.
【答案】x  0 ， 3x2  7x  2  0
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定直接写出结论.
【详解】命题 p ： x  0 ， 3x2  7x  2  0 是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题 p 的否定为： x  0 ， 3x2  7x  2  0 .
故答案为： x  0 ， 3x2  7x  2  0
已知函数 f (x) 是奇函数，当 x  0 时， f (x)  x2  2x ，则当 x  0 时， f (x)  .
【答案】 x2  2x
【解析】
【分析】当 x  0 时， f (x)  x2  2x ，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式.
【详解】设 x  0 ，则x  0 ，
所以 f (x)  x2  2 x  x2  2x ，又函数 f  x 为奇函数，
所以 f (x)   f (x)  x2  2x ，即 x  0 时， f (x)  x2  2x ，
故答案为： x2  2x ；
设 P 是一个数集，且至少含有两个数.若对于任意 a 、b  P ，都有 a  b 、 a  b 、 ab  P ，且若
b  0 ，则 a  P ，则称 P 是一个数域.例如，有理数集Q 是数域.则下列说法正确的是（写出所
b
有正确说法的序号）.
数域必含有 0，1 两个数.
整数集是数域.
若有理数集Q  M ，则数集 M 一定是数域.
数域中有无限多个元素.
【答案】（1）（4）
【解析】
【分析】根据题中的定义直接分析判断得出.
【详解】对（1）：由题意可知，任取 a 、b  P ， b  0 ，令 a  b ，则 a  b  0  P ， a  1 P ，所以
b
正确；
对（2）：再令a  1,b  2 ，则 a 、b  Z，但 a  1  Z ，故（2）错误；
b2
对（3）：令 M  Q ∪{ 2}，取 a  1, b 2, a  b  12  M ，故（3）错误；
对（4）：因数域必含有 0，1 两个数，由加法封闭性得，可生成11  2,1 2  3,L，
1 11
再由除法封闭性，可生成确.
, , 2 
2 32
,L等，会生成无穷多个元素，因此数域中有无穷多个元素.故（4）正
故答案为：（1）（4）.
四、解答题（共 77 分）
设全集为U  {1, 2, 3, 5, 7,8, 9}，集合 A ={2, 3, 5}，集合 B  {1, 5, 7, 9}.
（1）求 A ∪ B .
求 A∩ðU B .
【答案】（1）1, 2, 3,5, 7, 9
（2）2, 3
【解析】
【分析】（1）根据并集的定义计算可得；
（2）根据补集、交集的定义计算可得.
【小问 1 详解】
因为集合 A ={2, 3, 5}，集合 B  {1, 5, 7, 9}，
所以 A ∪ B  1, 2, 3, 5, 7, 9 ；
【小问 2 详解】
因为U  {1, 2, 3, 5, 7,8, 9}，所以ðU B  2, 3,8，则 A ðU B  2, 3
已知二次函数 f  x  ax2  b  2 x  3 ．
若不等式 f (x)  0 的解集为x 1  x  1，求 a, b 的值；
若 f (1)  2 ，且 a  0, b  0 ，求 1  4 的最小值．
ab
【答案】（1） a  3 ， b  2
（2）9
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集，确定 a  0 且 ax2  b  2 x  3  0 的两根为1和1，再结合韦达定理即可求解；
（2）先由题中条件，得到a  b  1 ，再由 1  4   1  4 a  b 展开后利用基本不等式即可求解.
ab
 
ab
【详解】（1）不等式 f (x)  0 的解集为x 1  x  1，则 a  0 ，且 ax2  b  2 x  3  0 的两根为1
和1，
 b  2  11
aa  3
则3，所以 b  2 ；
  11
a
（2）由 f (1)  2 ，可得 a  b  2  3  2 ，即a  b  1 .
b·4a a b
又 a  0, b  0 ，所以 1  4   1  4 a  b  5  b  4a  5  2
 9 ，
ab
 
abab
当且仅当 b  4a 时，即 a  1 , b  2 时等号成立.
ab33
某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料 x 千克时，这种果树的单株产量
2 x2 17, 0  x  2

W  x  
50 

8
x 1
, 2  x  5
（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为20x 10 元.已知这
种水果的市场售价大约为 10 元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为 f  x （单位：元）．
求 f  x 的解析式；
当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
20x2  20x  330, 0  x  2
【答案】（1） f  x  

490 

80
x 1
 20x, 2  x  5
（2）施用肥料为 3 千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是 390 元
【解析】
【分析】（1）根据 f  x  10W  x  20x 10 可得 f  x 的解析式.
（2）利用二次函数的性质及基本不等式可求 f  x 的最大值.
【小问 1 详解】
由已知得， f  x  10W  x  20x 10 ，
2 x2 17, 0  x  2

∵W  x  
50 

8
x 1
，
, 2  x  5
20 x2 17  20x 10, 0  x  2
∴ f  x  ，
80
 500  20x 10, 2  x  5
x 1
20x2  20x  330, 0  x  2

整理得， f  x  
490 

80
x 1
.
 20x, 2  x  5
【小问 2 详解】
1 21

当0  x  2 时， f  x  20x2  20x  330  20  x 

 325 ，对称轴为直线 x  ，
2
2
max
∴ f  x f 2  370 .
当2  x  5 时， f  x  490  80  20x  490   80
 20  x 1  20
x 1
 470   80  20  x 1  470  2
 x 1
x 1
80  20  x 1
 390 ，
 x 1
当且仅当
80
x 1
 20  x 1 ，即 x  3 时等号成立，故 f ( x)
max
 390 ，
∵ 370  390 ，∴ f  x 的最大值为 390，
∴当施用肥料为 3 千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是 390 元．
18. 已知函数 f  x  ax  b 时定义在1,1 上的奇函数，且 f  1   4 ．
2
5

1 x2 
求 f  x 的解析式；
先判断函数 f  x 在区间1,1 上的单调性，并证明；
求关于m 的不等式 f m 1  f m  0 ．
2x1
【答案】（1） f (x) 
【解析】
1 x2
（2）单调递增函数，证明见解析（3）[0, )
2
【分析】
根据题意，由奇函数的性质可得 a(x)  b   ax  b ，解可得b 的值，又由 f  1   4 可得 a 的
2
5

1  (x)21  x2 
值，将 a 、b 的值代入函数的解析式即可得答案；
设- 1 £ x1 < x2 £ 1 ，用作差法分析可得 f (x1)  f (x2 ) ，由函数单调性的定义即可得证明；
由奇函数的性质可以将 f m 1  f m  0 变形为 f m 1   f m ，结合函数的定义域与单调性可得 x 的取值范围．
【详解】（1）根据题意， f (x)  ax  b 是奇函数，则有 f (x)   f (x) ，
1 x2
则有 a(x)  b   ax  b ，解可得b  0 ；
1  (x)21  x2
 f (x) 
ax
．
1 x2
Q f  1   4 ，
2
5
 
 
1 a
 2  2a  4 1 155
4
解可得 a  2 .
 f (x) 
2x 1  x2
（2） f (x) 在1,1 上为增函数；证明如下：设- 1 £ x1 < x2 £ 1 ，
则 f (x1 )  f (x2 ) 
x1
1  x2
x2
1  x2
 (x1  x2 )(1  x1 x2 ) ，
(1  x 2 )(1  x 2 )
1212
Q1  x1  x2  1，
则有(1  x2 )  0 ， (1  x2 )  0 ， (1 x1x2 )  0 ， x  x  0 ，
1212
则有 f (x1)  f (x2 )  0 ，即 f (x1) 
 f (x) 在1,1 上为增函数；
（3）Q f m  1  f m  0 ，
 f m  1   f m ，
f (x2 ) ．
又 f (x) 是定义在1,1 上的奇函数，
 f (m  1)  f (m) ，
1  m 1  1

则有1  m  1，

m 1  m
解可得： 0  m  1 ；
2
故不等式 f m 1  f m  0 的解集为[0, 1 ) ．
2
【点睛】关键点点睛：利用函数单调性定义证明时，需要严格按照步骤格式，注意取值的任意性，作差后注意变形，变形的目的利用条件及不等式性质判断差的正负.
19. 已知函数 f  x  x2  ax  3 ， a  R .
若函数 y 
1
f  x
的定义域为R ，求实数 a 的取值范围；
若任意 x 1, 2 ， f  x  a 恒成立，求实数 a 的取值范围；
若函数 g  x   f  x   a  2 x  a ，函数 y  g  g  x 的最小值是5 ，求实数 a 的值.
【答案】（1） 2 3, 2 3 
（2） 7, 
（3） a  1
【解析】
【分析】（1）由题意可得：对任意的 x  R ， x2  ax  3  0 ，结合二次函数分析求解；
由题意可知，不等式 x2  ax  3  a 对任意的 x 1, 2 ，令 m  x 10,1 ，由参变量分离法可得
a  m  4  2 ，利用对勾函数的单调性求出函数 p m  m  4  2 在0,1 上的最小值，可得出关于实
mm
数 a 的不等式，即可得出实数 a 的取值范围；
令t  g  x  a  2 ，可得 g t   t 12  a  2 t  a  2 的最小值是5 ，分 a  2  1和
a  2  1两种情况，结合二次函数最值分析求解.
【小问 1 详解】
若函数 y 
1
f  x
的定义域为R ，则对任意的 x  R ， x2  ax  3  0 ，
由于函数 f  x  x2  ax  3 为开口向上的二次函数，
3
故只需要Δ  a2 12  0 ，解得2 a  2 3 ，
所以实数 a 的取值范围是2 3, 2 3  .
【小问 2 详解】
任意 x 1, 2 ， f  x  x2  ax  3  a 恒成立，则0  x 1  1，可得a  x 1  x2  3 ，
令 m  x 10,1 ，则 x  m 1，所以， am  m 12  3  m2  4  2m ，
可得a  m  4  2 ，
m
令 p m  m  4  2 ，其中 m 0,1，则函数 p m 在0,1 上为减函数，
m
min
所以， p m p 1  7 ，所以， a  7 ，解得a  7 .
因此，实数 a 的取值范围是7, ∞ .
【小问 3 详解】
因为 g  x  f  x  a  2 x  a  (x 1)2  a  2  a  2 ，
令t  g  x  a  2 ，则 y  g  g  x  g t   (t 1)2  a  2, t  a  2 ，则 g t  为开口向上，对称轴为t  1的二次函数，
当 a  2  1，即 a  3 时，则 g t  在a  2, 1 上单调递减，在1, ∞ 上单调递增，此时 g(t)  g 1  a  2  5 ，解得 a  3 ，不符合要求，舍去；
当 a  2  1，即 a  3 时，则 g t  在a  2, ∞ 上单调递增，
此时 g(t)  g a  2  a2  7a 11  5 ，解得 a  1 或 a  6 （舍去）；综上所述： a  1 .
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） x  D ， m 
（2） x  D ， m 
（3） x  D ， m 
x  D ， m 
f  x  m  f  x  m  f  x  m  f  x  m 
f  x；
min
max
f  x；
max
f  x；
min
f  x.